Задания для самопроверки №1
Вычислить:
1. Ответ:
2. Ответ:
3. Ответ:
4. Ответ:
5. Ответ:
6. Ответ:
7. Ответ:
8. Ответ:
9. Ответ:
10. Ответ:
11. Ответ:
12. Ответ:
13. Ответ:
14. Ответ:
15. Ответ:
16. Ответ:
17. Ответ:
18. Ответ:
19. Ответ:
20. Ответ:
21. Ответ:
22. Ответ:
23. Ответ:
24. Ответ:
25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:
а) ;
b) ;
c) .
§2. Определенный интеграл
Основные понятия и методы решения
Определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке
длины
выберем произвольную точку
. Составим сумму
, называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю
максимальной из длин отрезков разбиения:
, этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек
, на отрезках
.
Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [a, b] – отрезок интегрирования.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции
, снизу – осью Ox, сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.
Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определённый интеграл существует.
Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний хизменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл:
, называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.
Теорема (Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет первообразную, равную интегралу
, и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство
.
Теорема(Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница[4].
Основные свойства определенного интеграла:
1. .
2. .
3. .
4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то .
5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: .
6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что .
7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8. .
9.
Методы интегрирования определенного интеграла: