Формула Тейлора

Замена функции ее дифференциалом дает возможность получить приближенные формулы. Эти формулы можно уточнить, используя дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим многочлен

. (1)

Его можно разложить по степеням. Коэффициенты можно найти, положив , . Продифференцируем

, , .

, ,

,

…,

.

Следовательно, . Тогда

. (2)

Если вместо взять произвольно, то (2) уже не будет справедлива, но если обозначить отличие через (остаточный член), то можно написать

. (3)

Это и есть формула Тейлора. При имеет по крайней мере -й порядок малости по сравнению с , то есть более высокий порядок, чем последний из выписанных «точных» членов в формуле (3).

Формула (3) дает возможность заменить функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению .

.

Форма Лагранжа для остаточного члена

, (4)

, .

Если , то

– (5)

формула Маклорена.

. (6)

Формула (6) называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.