Работа № 8 Определение показателя адиабаты при адиабатическом расширении газа

Цель работы: – изучить законы идеального газа и основные положения классической теории теплоёмкости; определить коэффициент Пуассона g - отношение теплоёмкости при постоянном давлении С_р к теплоемкости при постоянном объеме C_V методом адиабатического расширения (методом Клемана - Дезорма).

Общие сведения

Количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К, называют молярной теплоемкостью.

где Q – количество тепла, подводимого к системе, Т – абсолютная температура, M – масса газа, m – масса одного моля газа.

Как показывают теория и опыт, теплоемкость зависит от условий, при которых нагревается газ, т.е. от характера термодинамического процесса.

Теплоёмкость газа при постоянном давлении (С_p) больше теплоёмкости при постоянном объёме (C_v). Это легко показать качественно на основании первого начала термодинамики: количество тепла Q, подводимого к системе, идет на увеличение внутренней энергии системы DU и на совершение этой системой работы A над внешними телами.

Q=dU+A (1)

Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа не совершается и все подводимое тепло идет на увеличение запаса его внутренней энергии U, т.е. только на повышение температуры газа. Если же газ нагревается при постоянном давлении, он расширяется и производит работу, требующую дополнительного расхода тепла. Таким образом, для повышения температуры газа на определённую величину в изобарном процессе требуется большее количество теплоты, чем при изохорном.

Как следует из теории

C_p = C_V + R (2)

где R – универсальная газовая постоянная.

Выражение (2) носит название соотношения Р.Майера.

Отношение g=С_р/C_V входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0):

. (3)

Здесь p₁ и V₁ - давление и объем газа в первом состоянии; p₂ и - давление и объем газа во втором состоянии .

Полную теплоизоляцию газа от внешней среды осуществить невозможно. Однако, если параметры состояния газа изменяются очень быстро, процесс можно приближенно считать адиабатическим. На практике адиабатический процесс совершается в некоторых тепловых двигателях (например, в двигателе Дизеля); распространение звука в газах (быстрое периодическое изменение давления в малых областях пространства) также протекает адиабатически.

Экспериментальная установка

Схема установки показана на рисунке 1. Установка состоит из стеклянного сосуда 1, баллона 8 с редуктором 9, со сжатым воздухом и U – образного жидкостного манометра 7 с цифровыми табло 5 и 6. Имеется также два крана – впускной кран 10, служащий для напуска газа в сосуд 1 из баллона 8 по магистрали 4, и выпускной кран 5 для соединения сосуда с атмосферой.

Вывод рабочей формулы.

Рассмотрим метод Клемана – Дезорма. Напустим воздух в стеклянный сосуд 1 (см. рисунок) т.е. откроем и закроем кран 10. При быстром сжатии температура воздуха повышается. Поэтому после прекращения напуска разность уровней жидкости в манометре будет постепенно уменьшаться, пока температура воздуха внутри сосуда не сравняется с температурой окружающего воздуха. Назовем состояние воздуха в сосуде после выравнивания температур состоянием 1. Параметры состояния 1: V₁ - объем единицы массы воздуха; t₁ - температура воздуха; р₁ - давление в сосуде.

Откроем кран 3и, как только давление в сосуде сравняется с атмосферным, закроем его. Так как расширение происходит очень быстро, то процесс близок к адиабатическому и, следовательно, температура понизится до t₂. Объем единицы массы воздуха станет равным V₂. Воздух, оставшийся в сосуде, перейдет в состояние 2 с параметрами V₂, t₂, р₂ (р₂ –атмосферное давление). Так как температура t₂ меньше наружной, то воздух в сосуде будет постепенно нагреваться (вслед­ствие теплообмена с окружающей средой) до температуры окружающего воздуха t₁. Это нагревание происходит изохорически, так как кран закрыт. Давление воздуха в сосуде увеличивается по сравнению с атмосферным, и в манометре возникает разность уровней h₂, т.е. воздух переходит в состояние 3 с параметрами V₂, t₁, р₃.

Таким образом, мы имеем три состояния газа со следующими параметрами:

Состояние Параметр
Объем	V1	V2	V2
Температура	t1	t2	t1
Давление	p1	p2	p3

В состояниях 1 и 3 воздух имеет одинаковую температуру, следовательно, параметры этих состояний можно связать уравнением изотермического процесса (уравнением Бойля – Мариотта):

или (4)

Переход от состояния 1 к состоянию 2 происходит адиабатически, поэтому параметры их связаны уравнением Пуассона (3):

или (5)

Из уравнений (4) и (5) получим

(6)

Прологарифмировав равенство (6), получим

, (7)

Если давление измерять жидкостным манометром, то вместо р можно писать соответствующую высоту жидкости. Тогда можно ввести обозначения

где H – атмосферное давление, h₁ – разность уровней манометра в первом состоянии, h₂ – разность уровней в третьем состоянии.

Тогда выражение (7) можно переписать в виде

Так как величины h₁ и h₂, выраженные в миллиметрах ртутного столба, очень малы по сравнению с Н и, следовательно, дроби h₁/H и (h₁ - h₂)/(H + h₂) также незначительны, для нахождения величины логарифма можно воспользоваться приближенным выражением

,

где х - малая величина.

Поскольку х² и, тем более, х³ - величины высших порядков малости, ими можно пренебречь, тогда lg(1+ x) @ x и, следовательно,

Пренебрегая величиной h₂ в сумме H + h₂, получим расчетную формулу

. (8)