Определение показателя адиабаты воздуха

Цель работы: познакомиться с одним из методов определения показателя адиабаты С_{р /} C_v .

Приборы и принадлежности:установка Клемана - Дезорма для определения С_p / C_v .

Сведения из теории

Состояние газа характеризуется тремя величинами - параметрами состояния: давлением Р, объемом V и температурой Т. Уравнение, связывающее эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева-Клапейрона:

,

где М- масса газа; m - масса одного моля; R - универсальная газовая постоянная.

Для одного моля:

PV = RT . (7.1)

Теплоемкостью теланазывается количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы изменить его температуру на один градус:

(Дж/К).

Здесь dT - изменение температуры тела при сообщении ему количества теплоты dQ.

Теплоемкость единицы массы тела называется удельной теплоемкостью:

(Дж/(кг·К)).

Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью:

(Дж/(моль·К)) . (7.2)

Величина теплоемкости газа зависит от условий его нагревания, т. е. от того, нагревается ли газ при постоянном объеме (обозначим молярную теплоемкость в этом случае через С_v ) или процесс нагревания происходит при постоянном давлении (С_р ). Теплоемкости С_р и С_v связаны между собой. Эту связь можно получить, пользуясь уравнением состояния (7.1), написанным для одного моля газа, и первым началом термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом: количество теплоты dQ, переданное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую системой над внешними телами:

dQ = dU + dA.(7.3)

Элементарная работа

dA = P× dV . (7.4)

Исходя из определения молярной теплоемкости (7.2)

.

При изохорическом процессе V = соnst, следовательно, dV = 0 и dA= 0 (см. формулу (7.4)), поэтому

. (7.5)

При изобарическом процессе Р =соnst,следовательно,

. (7.6)

Из уравнения газового состояния (7.1) получаем

PdV + VdP = RdT.

Но dP = 0 (так как Р = сonst), потому Р dV = R dT. Учитывая это равенство и заменяя dU через С_v dT, из выражения (7.6) получим

С_p = C_v + R. (7.7)

Таким образом С_p > С_v : при нагревании при постоянном давлении тепло, сообщенное газу, идет не только на изменение его внутренней энергии, но и на совершение газом работы.

Важную роль в термодинамике играет величина . В частности, g входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Уравнение Пуассона в переменных Р,Vимеет вид

РV ^g= соnst. (7.8)

Из первого начала термодинамики (7.3) для адиабатического процесса следует:

dU +dA = 0,

откуда

dA = - dU = - C_v dT,

т.е. работа в этом случае совершается за счет изменения запаса внутренней энергии.

Описание установки и метода определения С_р / C_v

Для определения в данной работе используется метод, предложенный немецкими физиками Клеманом и Дезормом.

Установка (рис.7.1) состоит из стеклянного баллона Б емкостью 10 - 15 литров, закрытого пробкой. Через пробку проходят две трубки. Трубка 2 соединена с жидкостным манометром 3, используемым для измерения из­бы­­точного по сравнению с атмо­сфер­ным давления в баллоне. Трубка 1 через кран K₁ соединена с атмо­сфе­рой. Через от­верстие в нижней части бал­лона про­хо­дит третья трубка 5, ко­то­рая че­рез кран K₂ соединяет бал­лон с на­со­сом 4.

Пусть при комнатной темпе­ра­ту­ре Т₁ газ, находящийся в баллоне, имеет давление Р₁ , которое несколько выше атмосферного Р₀. Избыток давления (отсчет h₁) можно создать насосом при открытом кране K₂ и измерить манометром 3 (кран K₂ после этого должен быть закрыт), т. е.

Р₁ = Р₀ + h₁ , h₁ << Р₀

Если сейчас на короткое время открыть кран K₁ , то будет иметь место процесс адиабатического расширения газа (теплопроводность стенок баллона мала). Давление газа в баллоне при этом сравняется с атмосферным Р₀(рис.7.2), а температура газа понизится до Т₂ (работа расширения совершается за счет внутренней энергии газа).

Уравнение Пуассона (7.8), опи­сы­ва­ю­щее адиабатический процесс, в нашем случае удобно записать в переменных Р, Т:

. (7.9)

После процесса расширения в результате теплообмена температура оставшегося в баллоне газа начинает повышаться. Будет повышаться и давление газа, причем до тех пор, пока температура вновь не сравняется с комнатной. Обозначим это давление через Р₂. Очевидно, Р₂ =Р₀ + h₂ , где h₂ << P₀ - избыточное давление, измеренное по манометру в данном случае. Таким образом, сейчас имеет место изохорный процесс нагревания газа со скоростью, определяемой теплопроводностью стеклянных стенок баллона. Как известно, такой процесс подчиняется закону Гей - Люссака:

. (7.10)

Оба процесса (адиабатический, и изохорный ) изображены в координатах Р,V на рис.7.2.

Сравнивая (7.9) и (7.10), можно записать: .

Учитывая, что P₁ = P₀ + h₁ , а Р₂ = P₀ + h₂ , последнее выражение представим как

или

. (7.11)

Так как h₁ и h₂ малы по сравнению с Р₀ , то обе части равенства (7.11) можно разложить в ряд. Ограничиваясь членами первого порядка, получаем

,

откуда

. (7.12)

Выражение (7.12) является рабочей формулой для определения g. Как видно, для этого достаточно при проведении опытов измерить h₁ и h₂ .

Порядок выполнения работы

Перед началом измерений убедитесь в том, что краны и места сочленений трубок достаточно герметичны. Для этого, перекрыв кран K₁ , через кран K₂ с помощью насоса заполните баллон воздухом до давления, превышающего атмосферное на 100 - 200 мм водяного столба. Кран K₂ закройте и наблюдайте за изменением давления, которое сначала будет понижаться. Если через некоторое время (5 - 8 с) давление перестанет понижаться, то установка исправна. В противном случае необходимо найти и устранить течь.

Измерения проводить в таком порядке:

1. При перекрытом кране K₁ закачивайте воздух в баллон до тех пор, пока разность уровней в манометре не достигнет 300-400 мм вод. ст. Кран K₂ закройте.

Ждите, пока уровень воды в манометре перестанет изменяться. Сделайте отсчет разности уровней h₁ и этот результат запишите в табл. 7.1.

2. Быстро откройте кран K₁. Когда давление сравняется с атмосферным (разность уровней в манометре равна нулю), перекройте его. Давление должно повышаться. Дождитесь момента, при котором давление в баллоне перестанет повышаться, и измеряйте h₂ – разность уровней воды в коленах манометра. Результат запишите в табл. 7.1.

Таблица 7.1

№ п/п	h1, мм	h2, мм	g	<g>	gi - <g>	Di g2 =(gi -<g>)2	å Dgi 2
. . .

3. Пункты 1 и 2 повторите не менее 7 раз.

4. По результатам каждого из опытов по формуле (7.12) вычислите g, а затем его среднее значение <g>.

5. Вычислите абсолютнуюDg и относительную s_g ошибки по формуле:

, ,

где t_a,n – коэффициент Стьюдента; n – число измерений.

6. Результат представьте в виде:

g = <g> ± Dgпри e_g = … %, a = … (a - надежность результатов).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется теплоемкостью тела, удельной теплоемкостью вещества, молярной теплоемкостью вещества? В каких единицах измеряются эти величины?

2. Что такое молярная теплоемкость при постоянном объеме (С_v ), при постоянном давлении (С_р )?

3. Какова связь между С_ри С_v ?

4. В чем состоит первое начало термодинамики?

5. Какой процесс называется изохорическим?

6. Какой процесс называется изобарическим?

7. В связи с чем рассматриваются в данной работе изохорический и изобарический процессы?

8. Какой процесс называется адиабатическим?

9. Запишите уравнение Пуассона в переменных Р, Vи Р, T.

10. Что происходит с внутренней энергией и температурой газа при адиабатическом расширении его?

11. Опишите устройство прибора и процессы, происходящие с газом в ходе выполнения работы.

12. Приведите вывод рабочей формулы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие. -7 изд., испр. - М.: Высшая школа, 2001.- 542 с.

2. Детлаф А.А. Курс физики: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1999. – 718 с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука,1988. Т. 1- 3.

4. Лабораторный практикум по физике. Под ред. К.А. Барсукова и Ю.И. Уханова. М.: Высшая школа, 1988.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Предельные погрешности некоторых приборов	Коэффициенты Стьюдента ta,n
№ п/п	Приборы	Значение меры	DХпр	a n	0,90	0,95	0,98
	Линейка металлическая Линейка деревянная Линейка пластмассовая Гири обычные Штангенцир-кули с ценой деления: 0,1 мм 0,05 мм Микрометры с ценой деления 0,01 мм Весы лабораторные Секундомеры механическ. и электрические     Термометры стеклянные жидкостные	150, 350, 500 мм 200, 400, 500 мм 200, 250, 300 мм 1 г, 2 г, 3г   0-155 мм 0-250 мм     0-50 мм до 200 г   до 30 мин   до 1000	0,5 мм   0,5 мм   1мм   6, 8, 12 мг   0,1 мм 0,05 мм     4 мкм 3 миним. дел. шкалы 1 миним. дел. шкалы за 1 оборот секундной стрелки Цена мин. дел.шкалы, если оно = 1о,2о,5о и удвоенная цена, если 0,2о, 0,5о	¥	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,65	12,7 4,30 3,18 2,76 2,57 2.45 2,36 2,31 2,26 1,96	31,82 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,34

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Пример обработки результатов прямого измерения

Измерялась длина l стержня штангенциркуля с ценой деления D = 0,1 мм. Полученные данные приведены в нижеследующей таблице (вторая колонка).

№ п/п	l , мм	li - <l>, мм	Dl2 = (li-< l>)2, мм2
	20,8 20,4 20,7 20,9 20,5 20,8	+0,12 -0,28 +0,02 +0,22 -0,18 +0,12	0,0144 0,0784 0,0004 0,0484 0,0324 0,0144
å	124,1
<l>	20,68

1) Находим мм и среднее значение <l> = = 20,68 мм.

2) Находим (l_i - <l>), (l_i -<l>)² и å (l_i - <l>)² =1884·10^-4 мм².

3) Задаемся надежностью a = 0,95 и по таблице (приложение 1) находим t_a,n= 2,57 и t_{a, ¥} = 1,96.

4) Вычисляем абсолютную и случайную погрешности

Dl_cл = t_a,n мм.

5) Устанавливаем предельную погрешность прибораDl_пр = D = 0,1 мм и вычисляем приборную погрешность

Dl_пр^ст = t_a,¥/3 × D = 1,96/3 × 0,1 = 0,085 мм.

6) Погрешность округления. Отсчет по нониусу округлялся до целого деления, значит, h = D = 0,1 мм, и

Dl_окр = a× h/2 = 0,95 × 0,1/2 = 0,048 мм.

7) Полная абсолютная погрешность

Dl = мм = 0,22 м.

8) Относительная погрешность

e_l =Dl/<l> = 0,22/20,68 = 0,0106 ; e »1,1 %.

9) Итог: l = (22,7 ± 0,2) мм. e» 1% приa = 0,95.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Пример обработки результатов косвенного измерения

Определялось ускорение свободного падения g с помощью математического маятника. После обработки результатов измерений длины маятника lи периода колебаний Тбыли получены данные: l = (1,203 ± 0,004)м приa= 0,95. Т=(2,21 ± 0,02) с.

Связь между g, l, и Т следующая:

1) Вычисляем <g>: <g> = м/с².

2) Т.к. g представляет собой произведение g = 4p²l¹T^-2, то сначала вычисляем относительную ошибку.

e_g =

= = 1,86×10^-2 = 0,19.

3) Абсолютная погрешность Dg = <g> × e_g = 9,71× 0,19 = 0,184 м/с².

Итог: g = (9,71 ± 0,18) м/с².e » 2%приa= 0,95.

Лицензия ЛР № 020370 от 22.01.97

Корректор И.Н. Жеганина

Подписано к печати

Формат 60х84/16. Объем 3,38.

Тираж 1000. Заказ

Редакционно-издательский отдел и ротапринт

Пермского государственного технического университета