Поверхностные интегралы I и II рода

а) Поверхностный интеграл I рода. Пусть F(x,y,z) - непрерывная функция и z=f(x,y) - гладкая поверхность S, где f(x,y) задана в некоторой области D плоскости xOy. Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что max d_k®0:
,
где - площадь k-го элемента поверхности S, точка принадлежит этому элементу, d_k - диаметр этого элемента, F(x,y,z) определена в каждой точке поверхности S.

Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S, по которой производится интегрирование.

Если проекция D поверхности S на плоскость xOy однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
.

б) Поверхностный интеграл II рода. Пусть в декартовой системе координат Oxyz задана двусторонняяя поверхность S. Выберем определенную сторону поверхности S, задав определенное направление единичного вектора нормали , точка (x,y,z)ÎS. И пусть в точках поверхности S определена вектор-функция с координатами P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Сделав разбиение S на n частей T_i с площадямит S_i, составим интегральную сумму вида
,
где (x_i,y_i,z_i)ÎT_i; означает скалярное произведение векторов и .

Поверхностным интегралом II рода от вектор-функции по выбранной стороне поверхности S называется предел интегральной суммы s_n при l®0 (l - диаметр разбиения), если этот предел существует; конечен, не зависит от способа разбиения и от выбора точек (x_i,y_i,z_i). Обозначение:

Физический смысл. Указанный интеграл выражает массу жидкости единичной плотности, протекающей через поверхность S в направлении вектора нормали со скоростью за единицу времени, то есть так называемый поток вектор-функции (или векторного поля) через S в направлении .

2.6. Вычисление криволинейных интегралов
I и II рода

Пусть функция f(x,y,z) определена и непрерывна в точках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение дуги АВ задано параметрическими уравнениями

x=x(t), y=y(t), z=z(t), (t₀£t£t₁) ,

то

(2.15)

В случае плоской кривой АВ

. (2.16)

Механический смысл криволинейного интеграла I рода: если f(x,y,z)>0, то представляет собой массу кривой, имеющей переменную линейную плотность m(r)=f(x,y,z).

Пример 1. Вычислить массу отрезка прямой, заключенного между точками А(0;-2), В(4;0), если .

Решение.Найдем уравнение прямой АВ: y=0,5x-2; тогда .

Отсюда .

Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны в точках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение дуги АВ задано параметрически x=x(t), y=y(t), z=z(t), (t₀£t£t₁), то
(2.17)
В случае плоской кривой АВ
(2.18)

Пример 2. Найти работу силы вдоль части кривой (линия пересечения поверхностей и ) от точки до точки .

Решение. . – параметрическое задание пути . По формуле (2.17)

Пример 3. Вычислить работу силы вдоль части кривой . Движение от точки A к точке B – по ходу часовой стрелки.

Решение. – параметрическое задание части кривой (j в роли параметра t). По формуле (2.18)

.

2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода.
Связь между ними

а) Поверхностный интеграл I рода (ПОВИ-1). Если поверхность Т задана уравнением z=z(x,y), (x,y)ÎDÌOxy, причем z(x,y) имеет непрерывные частные производные, а проекция D поверхности Т на плоскость Oxy имеет кусочно-гладкую границу, и если в точках поверхности Т задана непрерывная функция f(x,y,z), то интеграл от f(x,y,z) по площади поверхности Т (I рода) существует и вычисляется по формуле:

(2.19)

(Справа в этой формуле стоит двойной интеграл).

Аналогичные формулы можно получить, проектируя поверхность T на другие координатные плоскости.

б) Поверхностный интеграл II рода (ПОВИ-2). Если поверхность Т задана так же, как в предыдущем пункте а), то поверхностный интеграл II рода существует и сводится к двойному интегралу по проекции D поверхности Т на плоскость Oxy следующим образом:

. (2.20)

Знак “+” в формуле (2.20) берется, если нормаль к выбранной стороне поверхности Т образует острый угол с осью Oz; знак “-” - в случае тупого угла.

Формулы, аналогичные (2.20), имеют место и для поверхностных интегралов II рода таких, как: . При этом нужно спроектировать поверхность Т на плоскости Oyz и Ozx соответственно.

в) Связь между ПОВИ-1 и ПОВИ-2). Имеет место формула

(2.21)

связывающая поверхностные интегралы II рода (слева) и I рода (справа). Здесь a, b, g есть углы, образованные с осями Ox, Oy, Oz нормалью к выбранной стороне поверхности Т в точке (x,y,z).

Пример1.Вычислить массу плоской пластины Т: , расположенной в I октанте (рис. 2.17) и имеющей поверхностную плотность .

Решение. Уравнение поверхности Т:
(x,y)ÎD есть проекция Т на плоскость Oxy. По формуле (2.19):

где S_D – площадь фигуры D. А так как D – это DOAB, то – . Итак, (кг).

Пример 2. Вычислить поток П векторного поля ( - единичный направляющий вектор оси Oz) через верхнюю сторону нижней половины сферы Т: .

Решение. Уравнение нижней полусферы:

. Нормаль к выбранной стороне образует острый угол с Oz, поэтому по формуле (2.20) имеем:
.

Здесь D – проекция Т на плоскость Oxy есть круг . Пе-

рейдем в последнем двойном интеграле к полярным координатам x=rcosj, y=rsinj, 0£j£2p, 0£r£R. В итоге: