Поверхностные интегралы первого рода

Пусть в каждой точке некоторой поверхности σ, ограниченной линией L определена функция ƒ(p). Разобьем поверхность σ произвольными кривыми на части ∆σ_1, ∆σ_2, ... , ∆σ_n . Площадь каждой из них обозначим так же

∆σ _1, ∆δ_2, ... , ∆δ_n. Выбрав в каждой из них произвольную точку Р_i составим сумму

n

∑ ƒ (Р_i) ∆δ_i , которую называют интегральной суммой.

i=1

Предел этой суммы при max ∆σ_i→0 называют поверхностным интегралом первого рода и обозначают или ,

при этом переменные x, y, z связаны условием: точка (x, y, z) лежит на поверхности σ.

Его вычисление сводится к вычислению двойного интеграла.

Поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) и проектируется на плоскость xoy в области D.

Площадь поверхности

где (x_i^*, y_i^*) – некоторая точка, лежащая в области D (т. ∆S_i)

где ∆S_i – площадь площадки ∆S_i.

т. P_i ∆ σ _i

P_i = P(x_i, y_i, z_i)

z

0 y

Д

Вычисляя предел левой и правой части при max ∆σ_i→0 (maxΔS_i→0) получим в левой части поверхностный интеграл, а в правой части двойной интеграл по области D.

Замечание. Если поверхность σ задана уравнением: x=x(y,z) или y = y(x,z),

то поверхностные интегралы вычисляются аналогично по формулам:

Пример (Б.3876) Вычислить ƒ(z + 2x + 4/3 y) dσ,

где σ – часть плоскости x/2 + y/3 + z/4 = 1, лежащая в первом октанте.

z

4 z = 4(1 – x/2 – y/3)

0 3

2 y

x

область D , т.е. ее проекция на пл. xoy

y

3

x/2 + y/3 = 1

0 2 x

2 3(1-x/2)

∫∫ (z + 2x + 4/3y)dδ = ∫ dx ∫ (4(1 – x/2 – y/3) + 2x + 4/3y) =

σ 0 0

2 3(1-x/2) 2 3(1-x/2) 2 2

∫ dx ∫ 4dy = 4∫ y│ dx = 4*3 ∫ (1-x/2) dx = 12(x – x³/4)│ = 12(2 – 4/4) = 12

0 0 0 0 0 0