Д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки

Учитель. Вернемся к раме картины. Во-первых, я признаю, что она является настоящим глобальным контрапримером для эйлеровой догадки, а также настоящим локальным контрапримером для первой леммы моего доказательства.

Гамма. Извините меня, сэр, но каким образом рама картины опровергает первую лемму?

Учитель. Выньте сначала одну грань, а потом попробуйте растянуть ее в плоскую фигуру на доске. Вам это не удастся.

Альфа. Чтобы помочь вашему воображению я скажу, что после вынимания грани вы можете растянуть оставшееся на доске у тех и только тех многогранников, которые надуванием возможно превратить в шар.

Очевидно, что такой «сферический» многогранник можно растянуть на плоскости, когда одна грань будет вынута; также очевидно, что и, наоборот, если многогранник без одной грани можно растянуть на плоскости, то вы можете согнуть его так, чтобы он мог обтянуть круглый сосуд, который затем можно закрыть недостающей гранью, и таким образом получить сферический многогранник. Но нашу картинную раму никак нельзя надуть так, чтобы она обратилась в шар; она может обратиться только в тор.

Учитель. Хорошо. Теперь вопреки Дельте я принимаю эту картинную раму в качестве критики для догадки. Поэтому я устраняю как ложную первоначальную форму догадки, но сразу же выдвигаю видоизмененную ограничивающую версию, а именно догадка Декарта – Эйлера справедлива для «простых» многогранников, т.е. для таких, которые после выемки одной грани могут быть растянуты на плоскости. Таким образом, из первоначальной гипотезы мы кое-что спасли. Мы имеем: эйлерова характеристика простого многогранника равна 2. Этот тезис не может быть опровергнут ни кубом в кубе, ни тетраэдрами-близнецами или звездчатыми многогранниками, так как ни одно из этих тел не будет «простым».

Таким образом, если метод устранения исключений уменьшал область применимости основной догадки и подозрительной леммы, сводя их к общей безопасной области, и поэтому принимал контрапример как критику и основной догадки и доказательства, то мой метод включения лемм сохраняет доказательство, но ограничивает область правильности основной догадки, сводя ее к истинной области подозрительной леммы. Иначе, если контрапример, являющийся одновременно и глобальным и локальным, заставлял устранителя исключений пересмотреть как леммы, так и первоначальную догадку, то меня он заставляет пересмотреть первоначальную догадку, но не леммы. Вы понимаете?

Рис. 12

Альфа. Думаю, что да. Для доказательства, что я понимаю, я опровергну вас[55].

Учитель. Мой метод или мою исправленную догадку?

Альфа. Вашу исправленную догадку.

Учитель. Тогда может быть вы все же не понимаете моего метода. Но давайте ваш контрапример.

Альфа. Рассмотрим куб с маленьким кубом, поставленным сверху (рис. 12). Это согласно со всеми нашими определениями (определения 1, 2, 3, 4, 4'). Следовательно, это будет настоящим многогранником. И он «простой», так как может быть растянут на плоскости. Таким образом, согласно вашей исправленной догадке, его эйлерова характеристика должна быть равна 2. Тем не менее он имеет 16 вершин, 24 ребра и 11 граней, и его эйлерова характеристика будет 16–24+11=3. Это будет глобальным контрапримером для вашей исправленной догадки и также, между прочим, для первой теоремы Беты, «устраняющей исключения». Этот многогранник не будет эйлеровым, хотя он не имеет ни полостей, ни туннелей, ни кратной структуры.

Дельта. Этот увенчанный куб назовем контрапримером 6[56].

Учитель. Вы сделали ложной мою исправленную догадку, но не уничтожили моего метода улучшения. Я снова пересмотрю доказательство и постараюсь узнать, почему оно не подходит к вашему многограннику. В доказательстве должна быть еще одна неправильная лемма.

Бета. Ну, конечно, так и есть. Я всегда подозревал вторую лемму. Она предполагает, что в триангуляционном процессе, проводя новое диагональное ребро, вы всегда увеличиваете на единицу числа и ребер и граней. Это неверно. Если мы посмотрим на плоскую сетку нашего увенчанного куба, то найдем кольцеобразную грань (рис. 13, а). В этом случае одно диагональное ребро не увеличит числа граней (рис. 13, б); нужно увеличить число ребер на два, чтобы число граней увеличилось на единицу (рис. 13, в).

Учитель. Примите мои поздравления. Я, конечно, должен еще больше ограничить нашу догадку…

Бета. Я знаю, что вы хотите сделать. Вы скажете, что простые многогранники с треугольными гранями будут эйлеровыми. Вы сохраните триангуляционный процесс и включите эту лемму в условия.

Рис. 13

Учитель. Нет, вы ошибаетесь. Прежде чем конкретно указать вашу ошибку, мне хочется остановиться на вашем методе устранения исключений. Когда вы сводите вашу догадку к «безопасной» области, вы по настоящему не рассматриваете доказательства и действительно для вашей цели это не нужно. Вам достаточно будет лишь сделать небрежное замечание, что в вашей ограниченной области будут справедливы все леммы, какими бы они ни были. Но для меня этого недостаточно. Ту самую лемму, которая была опровергнута контрапримером, я встраиваю в догадку, так что мне нужно отметить ее и сформулировать насколько возможно точно на основании тщательного анализа доказательства. Таким образом, опровергнутая лемма включается в исправленную догадку. Ваш метод не заставляет вас производить очень трудную разработку доказательства, так как в вашей исправленной догадке доказательство не появляется, как в моей. Теперь я возвращаюсь к вашему теперешнему замечанию. Опровергнутая кольцеобразной гранью лемма не формулировалась, как вы, по-видимому, думаете, что «все грани треугольны», но что «всякая грань, рассеченная диагональным ребром, распадается на две части». Вот эту-то лемму я и превращаю в условие. Удовлетворяющие ему грани я называю «односвязными» и могу сделать второе улучшение моей первоначальной догадки: «для простого многогранника, у которого все грани односвязны, ». Причина вашего быстрого неправильного утверждения заключалась в том, что ваш метод не приучил вас к тщательному анализу доказательства. Этот анализ бывает иногда довольно тривиальным, но иногда действительно очень труден.

Бета. Я понимаю вашу идею. Я тоже должен добавить самокритическое замечание к вашим словам, так как мне кажется, что они открывают целый континуум положений для устранения исключений. В самом худшем случае просто устраняются некоторые исключения и не обращается никакого внимания на доказательство. Мистификация получается, когда мы отдельно имеем доказательство и также отдельно исключения. В мозгу таких примитивных устранителей исключений доказательства и исключения помещаются в двух совершенно разделенных помещениях. Другие могут теперь указать, что доказательство будет действительным только в ограниченной области, в чем, по их мнению, и заключается раскрытие тайны. Но все же их «условия» для идеи доказательства будут посторонними[57]. Лучшие устранители исключений бросают беглый взгляд на доказательство и, как я в настоящую минуту, получают некоторое вдохновение для формулировки условий, определяющих безопасную область. Самые лучшие устранители исключений производят тщательный анализ доказательства и на этом основании дают очень тонкое ограничение запрещенной площади. В этом отношении наш метод действительно представляет предельный случай метода устранения исключений…

Иота. … и обнаруживает фундаментальное диалектическое единство доказательств и опровержений.

Учитель. Я надеюсь, что теперь вы все видите, что доказательства, хотя иногда правильно и не доказывают, но определенно помогают и справить (improve) нашу догадку[58]. Устранители исключений тоже исправляли ее, но исправление было независимым от доказательства (proving). Наш метод исправляет доказывая (improves by proving). Внутреннее единство между «логикой открытия» и «логикой оправдания» является самым важным аспектом метода инкорпорации лемм.

Бета. И, конечно, теперь я понимаю ваши предыдущие удивившие меня замечания, что вы не смущаетесь, если догадка будет одновременно и «доказана» и опровергнута, а также, что вы готовы доказать даже неправильную догадку.

Каппа (в сторону). Но зачем же называть «доказательством» (proof) то, что фактически является «исправлением» (improof)?

Учитель. Обратите внимание, что немногие люди захотят разделить эту готовность. Большая часть математиков вследствие укоренившихся эвристических догм неспособны к одновременному доказательству и опровержению догадки. Они будут и л и доказывать или опровергать ее. В особенности они не способны опровержением исправлять догадки, если эти последние будут их собственными. Они хотят исправлять свои догадки без опровержений; о ни никогда не уменьшают неправильности, но непрерывно увеличивают истинность; таким образом рост знания они очищают от ужаса контрпримеров. Может быть, это и является основой подхода лучшего сорта устранителей исключений; они начинают со «стремления к безопасности» и придумывают доказательство для «безопасной» области, а продолжают работу, подвергая это доказательство глубокому критическому исследованию, испытывая, использовали ли они все поставленные условия. Если этого нет, то они «заостряют» или «обобщают» первую скромную версию их теоремы, т.е. выделяют леммы, от которых зависит доказательство, и инкорпорируют их. Например, после одного или двух контрапримеров они могут сформулировать устраняющую исключения предварительную теорему: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми», откладывая невыпуклые объекты для cura posterior[59]; затем они изобретают доказательство Коши и тогда, открывши, что выпуклость не была реально «использована» в доказательстве, они строят теорему, включающую леммы[60]. Нет ничего эвристически нездорового в процедуре, которая соединяет предварительное устранение исключений с последовательным анализом доказательства и включением лемм.

Бета. Конечно, эта процедура не уничтожает критику, она только отталкивает ее на задний план; вместо прямой критики чрезмерных утверждений критикуются недостаточные утверждения.

Учитель. Я очень рад, Бета, что убедил вас. А как вы, Ро и Дельта, думаете насчет этого?

Ро. Что касается меня, то я совершенно определенно думаю, что проблема кольцеобразных граней является псевдопроблемой. Она происходит от чудовищного истолкования того, что представляют грани и ребра этого соединения двух кубов в один, который вы назвали «увенчанным кубом».

Учитель. Объясните.

Ро. «Увенчанный куб» представляет многогранник, состоящий из двух кубов, припаянных один к другому. Вы согласны?

Учитель. Не возражаю.

Ро. Тогда вы неправильно понимаете термин «припаянный». «Припой» состоит из ребер, связывающих вершины нижнего квадрата маленького куба с соответствующими вершинами верхнего квадрата большого куба. Поэтому вообще не существует никаких кольцеобразных граней.

Бета. Кольцеобразная грань здесь существует! Рассекающих ребер, о которых вы говорите, здесь нет!

Ро. Они только скрыты от вашего ненатренированного глаза (рис. 14, б)[61]…

Бета. Неужели вы думаете, что мы всерьез примем ваши аргументы? Я вижу здесь только суеверие, а ваши «скрытые» ребра неужели это реальность?

Ро. Посмотрите на этот кристалл соли. Скажете ли вы, что это куб?

Рис. 14

Бета. Конечно.

Ро. Куб имеет 12 ребер, не так ли?

Бета. Да, имеет.

Ро. Но на этом кубе вообще нет никаких ребер. Они скрыты. Они появляются только в нашей рациональной реконструкции.

Бета. Я подумаю насчет этого. Ясно только одно. Учитель критиковал мою самоуверенную точку зрения, что мой метод приводит к определенности, а также то, что я забыл о доказательствах. Эта критика вполне подойдет и к вашему «исправлению монстров», и к моему «устранению ошибок».

Учитель. А как вы, Дельта? Как вы будете заклинать кольцеобразные грани?

Дельта. Я не буду. Вы обратили меня в вашу веру. Я только удивляюсь, почему вы не добиваетесь полной уверенности и не включаете также и пренебреженную третью лемму? Я предлагаю четвертую и, надеюсь, окончательную формулировку: «эйлеровыми являются все многогранники, которые будут (a) простыми, (b) имеют только односвязные грани и (c) таковы, что треугольники плоской треугольной сети, полученной после растягивания на плоскости и триангулирования, могут быть так перенумерованы, что при устранении их в определенном порядке не изменится до достижения последнего треугольника»[62]. Я удивляюсь, почему вы не предложили этого сразу. Если вы действительно принимаете серьезно ваш метод, то вы все леммы должны превратить непосредственно в условия. Почему такое «постепенное построение»?[63]

Альфа. Консерватор обратился в революционера? Ваш совет кажется мне слишком утопичным. Потому что ровно трех лемм не существует. А то почему бы не добавить вместе со многими другими еще и такие: (4) «если 1+1=2» и (5) «если все треугольники имеют три вершины и три угла», так как мы, конечно, эти леммы тоже используем? Я предлагаю в условия превратить только те леммы, для которых был найден контрапример.

Гамма. Мне кажется, что принять это в качестве методологического правила будет слишком оппортунистичным. Включим в целое только те леммы, против которых мы можем ожидать контрапримера, т.е. такие, которые, очевидно, не будут несомненно истинными.

Дельта. Ну, хорошо, кажется ли кому-нибудь вполне очевидной наша третья лемма? Превратим ее в третье условие.

Гамма. А что если операции, выраженные леммами нашего доказательства, не будут все независимыми? Если выполнимы некоторые из этих операций, то может случиться, что и остальные будут необходимо выполнимыми. Я например, подозреваю, что если многранник простой, то всегда существует такой порядок устранения треугольников в получающейся плоской сети, что не изменяется. А если так, то инкорпорирование в догадку первой леммы избавит нас от инкорпорирования третьей.

Дельта. Вы считаете, что первое условие предполагает третье. Можете ли вы доказать это?

Эпсилон. Я могу[64].

Альфа. Действительное доказательство, как бы оно интересно ни было, не может помочь нам в решении нашей задачи: как далеко должны мы идти в исправлении нашей догадки? Охотно допускаю, что вы действительно имеете такое доказательство, как говорите, но это только заставит нас разложить эту третью лемму на несколько новых под-лемм. Должны ли мы и их превратить в условия? Где же тогда мы остановимся?

Каппа. В доказательствах существует бесконечный спуск; поэтому доказательства не доказывают. Вы должны понять, что доказывание представляет игру, в которую играют, пока это доставляет удовольствие, и прекращают, когда устанешь.

Эпсилон. Нет, это не игра, а серьезное дело. Бесконечный спуск может быть задержан тривиально истинными леммами, которые уже не надо превращать в условия.

Гамма. Вот я как раз так и думаю. Мы не обращаем в условия те леммы, которые могут быть доказаны на основании тривиально истинных принципов. Также мы не инкорпорируем те леммы, которые могут быть доказаны (возможно с помощью таких тривиально истинных принципов) на основании ранее установленных лемм.

Альфа. Согласен. Мы можем прекратить исправление нашей догадки после того, как превратим в условия эти две нетривиальные леммы. Я действительно думаю, что такой метод исправления при помощи включения лемм не имеет недостатков. Мне кажется, что он не только исправляет, но даже совершенствует догадку. И я отсюда узнал нечто важное, а именно, что неправильно будет утверждать, что целью «задачи на доказательство» является заключительный показ, будет ли некоторое ясно сформулированное утверждение истинным или что оно будет ложным[65]. Настоящей целью «задачи на доказательство» должно быть исправление – фактически усовершенствование – первоначальной «наивной» догадки в подлинную «теорему». Нашей наивной догадкой была: «Все многогранники являются эйлеровыми».

Метод устранения монстров защищает эту наивную догадку при помощи истолкования ее терминов таким образом, что под конец мы получаем теорему, устраняющую монстры: «Все многогранники являются эйлеровыми». Но тождественность лингвистических выражений наивной догадки и теоремы, устраняющей монстры, кроме тайных изменений в смысле терминов, скрывает и существенное улучшение.

Метод устранения исключений вводит элемент, являющийся фактически чуждым аргументации: выпуклость. Устраняющая исключения теорема была: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми».

Метод включения лемм основывался на аргументации, т.е. на доказательстве – и ни на чем другом. Он как бы резюмирует доказательство в теореме, включающей леммы: «Все простые многогранники с односвязными гранями являются эйлеровыми».

Это показывает, что (теперь я употребляю термин «доказывание» в традиционном смысле) человек не доказывает того, что он намеревался доказать. Поэтому ни одно доказательство не должно кончаться словами: «Quod erat demonstrandum»[66].

Бета. Одни говорят, что в порядке открытия теоремы предшествуют доказательствам: «Прежде чем доказать теорему, надо угадать ее». Другие отрицают это и считают, что открытие совершается путем вывода заключений из специально установленного ряда предпосылок и выделения интересных заключений, если нам посчастливится найти их. Или, если использовать прекрасную метафору одного из моих друзей, некоторые говорят, что эвристическое «застегивание молнии» в дедуктивной структуре идет снизу – от заключения – кверху – к посылкам[67], другие же говорят, что оно идет вниз – от вершины ко дну. Как думаете вы?

Альфа. Что ваша метафора неприложима, к эвристике. Открытие не идет ни вниз, ни вверх, но следует по зигзагообразному пути: толкаемое контрапримерами, оно движется от наивной догадки к предпосылкам и потом возвращается назад, чтобы уничтожить наивную догадку и заменить ее теоремой. Интуитивная догадка и контрапримеры не выявляются во вполне готовой дедуктивной структуре: в окончательном продукте нельзя различить зигзаг открытия.

Учитель. Очень хорошо. Однако добавим из осторожности, что теорема не всегда отличается от наивной догадки. Мы не всегда обязательно исправляем доказывая. Доказательства могут исправлять, когда их идея открывает в наивной догадке неожиданные аспекты, которые потом появляются в теореме. Но в зрелых теориях так может и не быть. Так наверняка бывает в молодых растущих теориях. Первичной характеристикой последних является именно это переплетение открытия и подтверждения, исправления и доказательства.

Каппа (в сторону). Зрелые теории могут быть омоложены. Открытие всегда заменяет подтверждение.

Сигма. Эта классификация соответствует моей. Первый вид моих предложений был зрелого типа, третий же растущего…

Гамма (прерывает его). Теорема неверна! Я нашел для нее контрапример.