Формула Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru надо вычислить критическую силу Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru (1)

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru через Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru приводим его к виду:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

В х = 1 у = 0.

Из первого условия следует (так как Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru и cos kx =1)

0 = b.

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru (2)

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

у = 0 и х = l

получаем:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.

Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru может иметь следующий бесконечный ряд значений:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

где Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru — любое целое число.

Отсюда Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru , а так как Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru то

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru и Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru .

Первый корень Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru =0 требует, чтобы Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru . Тогда получаем выражение для критической силы:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru (3)

(Здесь J—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это — так называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами. Значению критической силы (3) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной [формула (2)]

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Лекция № 43. Анализ формулы Эйлера

Значениям критической силы высших порядков соответствуют искривления по синусоидам с двумя, тремя и т. д. полуволнами (Рис.1):

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru (1)

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Рис.1

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

а изогнутая ось представляет синусоиду

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru ; тогда Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru , разделив силу Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru на площадь сечения стержня F; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru входит момент инерции Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru . Тогда

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.

Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru . Так, для стали 3 с пределом прочности Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru допускаемое напряжение может быть принято Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru при модуле упругости материала Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru будет равно

Формула Эйлера для определения критической силы. - student2.ru

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

Наши рекомендации