Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели

К Л А С С И Ч Е С К И Й

Р Е Г Р Е С С И О Н Н Ы Й А Н А Л И З

ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Расчетные формулы

1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

где

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – независимая переменная, Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – зависимая переменная, Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – число элементов выборочной совокупности.

1.1.1.2. Коэффициент корреляции

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

где Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – среднеквадратические ошибки, вычисляемые по формулам

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

1.1.1.3. Коэффициент детерминации

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

1.1.1.4. Дисперсионное отношение Фишера (F-критерий)

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

где Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – расчетное значение зависимой переменной (например, для случая линейной однофакторной модели Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ), Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – число элементов выборочной совокупности, Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – число факторов.

1.1.1.5. Стандартные ошибки параметров линейной регрессии

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

где Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – остаточная дисперсия, рассчитываемая по формуле

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

1.1.1.6. t-статистики Стьюдента

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

1.1.1.7. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

где Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – предельные ошибки, рассчитываемые по формулам

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – табличное значение t-статистики.

1.1.1.8. Индекс корреляции

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

1.1.1.9. Усредненное значение коэффициента эластичности

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

1.1.1.10. Доверительные интервалы прогноза

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

где Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru – период упреждения, Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Решение типовой задачи

Задание 1.1.2.1.ОАО «ЮВЖД» вынуждено периодически повышать цены на свои услуги. То, что повышение цен явно негативным образом влияет на число пассажиров, пользующихся услугами железной дороги, можно понять, проанализировав, в частности, данные табл. 1.1.2.1.

Т а б л и ц а 1.1.2.1

Стоимость проезда 1 чел. в поезде Воронеж - Москва, руб. Среднемесячное число пассажиров поезда Воронеж-Москва Стоимость проезда 1 чел. в поезде Воронеж - Москва, руб. Среднемесячное число пассажиров поезда Воронеж-Москва

Несмотря на это, руководство «ЮВЖД» планирует в следующем периоде поднять цены на билеты для пассажиров поезда Воронеж – Москва. В связи с этим было решено поручить студенту экономического факультета, проходящего практику в отделе экономического анализа управления юго-восточной железной дороги, известным ему методом спрогнозировать среднемесячное число пассажиров поезда при условии, что билет на этот поезд будет стоить 690 руб. Студент-практикант решил применить к имеющимся данным регрессионный анализ и, воспользовавшись его результатами, получить требуемую прогнозную оценку.

Решение с помощью MS Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Подготовка данных для расчета оценок коэффициентов линейной регрессии и оформление их в виде табл. 1.1.2.2.

Т а б л и ц а 1.1.2.2

№ п.п. Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Средние значения 416,88 10918,13 205268,75 4349625,00 120652931,25

3. Расчет оценок коэффициентов регрессии

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Таким образом, построенная модель может быть записана в виде

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Коэффициент Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru этой модели показывает, что в среднем увеличение стоимости проезда на 1 руб. приводит к уменьшению числа пассажиров на 6 человек.

4. Расчет коэффициентов корреляции и детерминации

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ; Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ;

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ; Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной зависимости среднемесячного числа пассажиров от стоимости проезда. Коэффициент детерминации также достаточно высокий, он показывает, что число пассажиров объясняется стоимостью проезда на 89%.

5. Расчет дисперсионного отношения Фишера

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Сравнение расчетного значения F-критерия с табличным Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru для 95%-го уровня значимости (см. Приложение) позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

6. Расчет стандартных ошибок по формулам (1.1.1.5), в которых используется средняя квадратическая ошибка Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , вычисленная в соответствии с данными табл. 1.1.2.3.

Т а б л и ц а 1.1.2.3

№ п.п. Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru
1. 12436,92 2201,04
2. 12436,92 26596,64
3. 12116,33 42570,52
4. 12116,33 31090,95
5. 12116,33 287645,85
6. 11378,97 123220,91
7. 11378,97 12327,30
8. 11378,97 442,19
9. 10641,62 669750,71
10. 10641,62 135706,02
11. 10641,62 467,30
12. 9904,26 45908,38
13. 9904,26 155442,84
14. 9198,97 450285,72
15. 9198,97 83501,74
16. 9198,97 383119,74
Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru 2450277,85
Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru 418,35

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

7. Расчет t-статистик Стьюдента

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Сравнение расчетных значений с табличным Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru (см. Приложение) подтверждает значимость коэффициентов регрессии.

8. Расчет доверительных границ для коэффициентов регрессии

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ; Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ;

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ; Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

9. Построение линейного уравнения регрессии и расчет всех его характеристик с помощью пакета «Анализ данных» Excel. Для этого сначала необходимо проверить доступ к пакету анализа (см. рис. 1.1.2.1), а затем выполнить действия по построению регрессионного уравнения (см. рис. 1.1.2.2). Результат применения инструмента «Регрессия» представлен на рис. 1.1.2.3.

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru

Р и с. 1.1.2.1. Подключение надстройки Пакет анализа

10. Получение прогнозной оценки числа пассажиров

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

11. Расчет доверительных границ прогнозной оценки

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru ,

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru .

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru
Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru

Р и с. 1.1.2.2. Построение регрессионного уравнения

с помощью пакета «Анализ данных» MS Excel

Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru

Р и с. 1.1.2.3. Результат применения инструмента «Регрессия»

Задания для самостоятельной работы

Задание 1.1.3.1. Начальник отдела маркетинга кинотеатра «Отражение» поручил своим сотрудникам провести исследование, в результате которого необходимо: 1) выявить фактор, в наибольшей степени влияющий на среднее число зрителей за первые три дня проката фильма; 2) построить прогнозную модель в виде линейной функции; 3) с помощью построенной модели получить прогнозные оценки среднего числа зрителей на первые три дня проката следующих двух фильмов. Специалисты отдела маркетинга экспертным путем в качестве фактора, в наибольшей степени влияющего на посещение киносеансов, установили расходы на рекламу фильма, (см. табл. 1.1.3.1). Выполните 2-е и 3-е задание начальника отдела маркетинга.

Т а б л и ц а 1.1.3.1

Среднее число зрителей за первые три дня проката фильма Расходы на рекламу фильма, руб. Среднее число зрителей за первые три дня проката фильма Расходы на рекламу фильма, руб.

Задание 1.1.3.2. В табл. 1.1.3.2 представлены данные, которые были собраны при проведении исследований по оценке стоимости недвижимости.

Т а б л и ц а 1.1.3.2

Дом Оценка инвентаризации, тыс. у.е. Рыночная стоимость, тыс. у.е. Дом Оценка инвентаризации, тыс. у.е. Рыночная стоимость, тыс. у.е.
68,2 87,4 74,0 88,4
74,6 88,0 72,8 93,6
64,6 87,2 80,4 92,8
80,2 94,0 74,2 90,6
76,0 94,2 80,0 91,6
78,0 93,6 81,6 92,8
76,0 88,4 75,6 89,0
77,0 92,2 79,4 91,8
75,2 90,4 82,2 98,4
72,4 90,4 67,0 89,8
80,0 93,6 72,0 97,2
76,4 91,4 73,6 95,2
70,2 89,6 71,4 88,8
75,8 91,8 81,0 97,4
79,2 94,8 80,6 95,4

Построить регрессионное уравнение, отражающее зависимость рыночной стоимости дома от стоимости, указанной в книге инвентаризации.

Для построенного уравнения вычислить:

1) коэффициент корреляции; 2) коэффициент детерминации; 3) дисперсионное отношение Фишера; 3) стандартные ошибки коэффициентов регрессии; 4) t-статистики Стьюдента; 5) доверительные границы коэффициентов регрессии; 6) усредненное значение коэффициента эластичности.

Рассчитайте рыночную стоимость дома, если инвентаризационная комиссия оценит его в 90,5 тыс. у.е.

Все расчеты проведите в Excel с использованием выше приведенных формул и пакета анализа. Результаты, полученные по формулам и с помощью пакета анализа, сравните между собой.

Задание 1.1.3.3. По данным табл. 1.1.3.2 постройте уравнение регрессии в виде показательной функции. Для построенного уравнения вычислите:

1) индекс корреляции; 2) коэффициент детерминации; 3) F-критерий.

Дайте содержательную интерпретацию коэффициента регрессии, построенной модели. Все расчеты проведите в Excel с использованием выше приведенных формул.

Задание 1.1.3.4. По данным табл. 1.1.3.3:

1) для характеристики зависимости стоимости поддержанных автомобилей ВАЗ 2105 и ВАЗ 2107 рассчитайте параметры функций равносторонней гиперболы;

2) постройте степенные уравнения регрессии, отражающие зависимость стоимости подержанных автомобилей моделей ВАЗ 2109 и ВАЗ 21099 от срока их эксплуатации. Для построенных уравнений вычислите: а) индекс корреляции; б) коэффициент детерминации; в) дисперсионное отношение Фишера. Дайте содержательную интерпретацию коэффициента регрессии, построенных моделей.

Т а б л и ц а 1.1.3.3

Стоимость подержанных автомобилей, руб. Срок эксплуатации, лет
ВАЗ 2105 ВАЗ 2107 ВАЗ 2109 ВАЗ 21099

Задание 1.1.3.5. Данные о доходностях рискованных активов трех видов, доходностях рыночного индекса акций и величинах безрисковой процентной ставки последовательно за 12 мес. приведены в табл. 1.1.3.4. Оцените коэффициенты линейных регрессий Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru , Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru по Задания для самостоятельной работы. 1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели - student2.ru и найдите значения всех показателей, используемых для тестирования моделей.

Т а б л и ц а 1.1.3.4

Наши рекомендации