Математический анализ функции нескольких переменных

Список

Вопросов по курсу математики. Гр 1401-1402

Дифференциальное и интегральное исчисление. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра

Дифференциальное исчисление.

1.Множества. Объединение, пересечение и дополнение множеств. Теоремы о дополнении объединения и пересечения множеств (теоремы двойственности).

2.Элементы математической логики. Алгебра высказываний (булева алгебра). Бинарные отношения: дизъюнкция (p или q; p Ú q), конъюнкция (p и q; p Ù q). Отрицание `p.

3.Теорема об отрицании дизъюнкции``(p Ú q) =`p Ù`q, и конъюнкции ``(p Ù q) = `p Ú`q (теорема двойственности). Таблицы истинности.

4. Импликация (если p ,то q; p ® q), двойная импликация (p,если и только если q; p «q ).Система доказательства от противного.

5. Понятие функции и отображения. Геометрический смысл.

6. Элементарные функции.Линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические функции. Обратные функции.

7. Простые, сложные и непрерывные проценты.

8. Понятие последовательности. Предел последовательности

9. Замечательный предел . Формула непрерывных процентов.

10. Предел функции. Шкала скорости возрастания элементарных функций.

11. Понятие производной (геометрический и физический смысл).

12. Производные основных элементарных функций (табличные производные).

13. Правила дифференцирования. Линейность, производные произведения и частного.

14. Производная сложной функции.

15. Дифференциал.

16. Понятие производной высокого порядка.

17. Формулы Тейлора и Маклорена. Геометрический смысл.

18. Исследование функций. Критические точки. Точки максимума, минимума, перегиба.

Математический анализ функции нескольких переменных.

19. Понятие отображения. Понятие функции нескольких переменных.

20. Функция двух переменных. Линии уровня. Сечения.

21. Частные производные.

22. Дифференциал функции двух переменных.

23. Градиент функции двух и нескольких переменных.

24. Градиентный способ поиска экстремальных значений функции

25. Частные производные сложной функции нескольких переменных.

26. Дифференциалы высоких порядков для функции двух переменных.

27. Формулы Тейлора и Маклорена для функции двух переменных.

28. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие существования экстремума функции двух переменных. Критические точки.

29. Невырожденные критические точки функции двух переменных (максимум, минимум, седло). Достаточные условия существования экстремума.

30. Поиск экстремума функции нескольких переменных при наличии ограничений. Метод, множители и функция Лагранжа.

Интегральное исчисление.

31. Понятие неопределенного интеграла.

32. Интегралы от основных элементарных функций (табличные интегралы).

33. Интегрирование заменой переменной.

34. Интегрирование по частям.

35. Понятие определенного интеграла (геометрический и физический смысл).

36. Свойства определенного интеграла.

37. Связь определенного и неопределенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

38. Замена переменной в определенном интеграле.

39. Интегрирование по частям определенного интеграла.

40. Несобственный интеграл. Условие сходимости интеграла от неограниченной функции. Условие сходимости интеграла на бесконечном интервале

41. Приложения интегрального исчисления. Вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объем фигуры вращения, Вычисление среднего. Простая непрерывная рента.

42. Ряды. Условие сходимости ряда. Признаки сходимости Даламбера, Коши, признак сравнения.

43. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.

Элементы аналитической геометрии.

44. Метод координат.

45. Векторы. Линейные операции над векторами (умножение вектора на число, сложение векторов). Направляющие косинусы и длина вектора. Расстояние между точками.

46. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами. Условие ортогональности двух векторов.

47. Прямая на плоскости. Уравнение прямой в отрезках. Нормальная форма уравнения прямой. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

48. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола и их геометрические свойства.

49. Плоскость. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальная форма уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

50. Определители второго и третьего порядка их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

51. Векторное произведение векторов.

52. Условие коллинеарности (параллельности) двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка.

53. Смешанное произведения трех векторов. Условие копланарности (нахождения на одной плоскости) трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов (определителя третьего порядка).

54. Прямая в пространстве. Способы задания прямой: прямая как пересечение двух плоскостей; каноническая форма прямой. Пучок плоскостей, проходящих через прямую.

55. Плоскость и прямая в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Матрицы и определители.

56. Понятие матрицы n*m. Действия над матрицами (умножение на число, сложение) и их свойства.

57. Умножение матриц. Линейное преобразование переменных.

58. Транспонирование матриц. Симметричная матрица (A^*=A). Теорема о транспонировании произведения матриц (AB)^*=B^*A^*.

59. Перестановки. Понятие определителя n-го порядка

60. Свойства определителей и методы их вычислений. Теорема об определителе произведения матриц |AB| = |A||B| .

61. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема о вычисление определителя через алгебраические дополнения |A| =a_i1A_i1+a_i2A_i2+ . . .+a_inA_in .

Системы линейных уравнений.

62. Понятие о системе линейных алгебраических уравнений. Матричная форма записи уравнений.

63. Линейная система из n уравнений с n неизвестными. Теорема Крамера о решении линейной системы.

64. Единичная и обратная матрица A^-1 и её свойства. Решение линейных систем из n уравнений и n неизвестных, в матричной форме.(Ax=b => x =A^-1b).

65. Метод Гаусса решения линейной системы.

66. Понятие минора n-го порядка. Ранг матрицы

67. Условие совместимости (разрешимости) системы линейных уравнений (Теорема Кронекера-Капелли).

68. Матричные функции Excel. Решение системы линейных алгебраических уравнений методами Крамера и обратной матрицы в Excel.

Литература.

Дифференциальное и интегральное исчисление.

1. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1966, 428с.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 1,М., Наука, 1974, 480с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Физматгиз,1963, 856с.

4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа том 1, 2, М., Наука, 1964, 440с., 464с.

5. Кириллов А.Л. Математический анализ элементарных функций. СПб., СЗАГС, 1997,160с.

6. Кириллов А.Л. Математика для управленцев, курс лекций, СПб, изд. СЗАГС, 2000, 240с.

7. Кириллов А.Л Клоков В.И. Практикум по математическому анализу элементарных функций СПб., СЗАГС, 1998,44с.

8. Кириллов А.Л Клоков В.И. Полянская С.В. Практикум по математике:пособие для студентов 1 курса. СПб., СЗАГС, 2009,100с.

9. Карасев А.И. и др. Курс высшей математики для экономических вузов, том 1, 2, М., Высшая школа, 1982

10. Красс М.С. Математика для экономических специальностей, учебник М., Инфра-М, 1998, 464

11. Крейн С.Г., Ушакова В.Н. Математический анализ элементарных функций, М., Физматгиз, 1963, 168.

12. Шипачев В.С. Высшая математика, М., Высшая школа, 1996, 479с.

13. Кемени Дж., Снелл Дж., Томсон Дж. Введение в конечную математику., М., Мир, 1965, 488.

14. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика, курс лекций, задачник-практикум и решения, СПб, изд. «Лань», 1999, 288с.

15. .Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, М., Наука, 1987

16. Берман Т.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М., Наука, 1985

17. Задачи и упражнения по математическому анализу (для втузов под ред. Демидомича Б.П.) М., Наука, 1966

Аналитическая геометрия. Линейная алгебра

1. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, М., Гостехиздат, 1956, 380 стр.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии, М., Физматгиз, 1963, 228 стр.

3. Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М., Изд. Наука, 1965, 428 стр.

4. Понтрягин Л.С., Знакомство с высшей математикой, Алгебра М., Изд. Наука, 1987, 136 стр.

5. Боревич З.И., Определители и матрицы, М., Изд. Наука, 1970, 200 стр.

6. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра, М., Высшая школа, 1984

7. Фадеев Д.К., Сборник задач по высшей алгебре, М., Изд. Наука, 1968, 304 стр.

8. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре, М., Изд. Наука, 1967, 384 стр.

9. Кириллов А.Л., Математика для управленцев, СПб, изд. СЗАГС, изд. «Образование - Культура», 2000, 240 стр.

10. Красс М.С. Математика для экономических специальностей, учебник, (серия «Высшее образование»), М., ИНФРА-М, 1998, 464стр.

11. Наумов В.А. Руководство к решению задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1993.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М., Изд. Наука, 1967, 576 стр.

13. Беллман Р. Введение в теорию матриц, М., Изд. Наука, 1969, 368 стр.

Дополнительная литература.

1. Абчук В.А., Экономико-математические методы: элементарная математика и логика. Методы исследования операций. – СПб.: Союз, 1999

2. Вентцель Е.С., Исследование операций: задачи, примеры, методология. – М.: Наука, 1980.

3. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Кремера Н.Ш., - М.: ЮНИТИ, 1998.

4. Исследование операций/ Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

5. Колемаев В.А. Математическая экономика. – М.: ИНФРА-М, 1999.

6. Колемаев В. А. Математическая экономика. Учебник для вузов. ‑ М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -399 с.

7. Колемаев В. А. Математические методы и модели исследования операций. Учебник для студентов вузов обучающихся по специальности 088116 «Математические методы в экономике. ‑ М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. - 592 с.

8. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997.

9. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА-М, 1998.

10. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Бранков А.В. Математика в экономике. – Ь.: Финансы и статистика, 1998.

11. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Пер. с англ. – М.: ЮНИТИ, Финансы, 1999.

12. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1998.

13. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1998.

14. Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А.В. Excel для экономистов и менеджеров. –СПб., Питер, 2004, 295с.

15. Берндт, Эрнст Роберт Практика эконометрики: классика и современность, для студентов вузов обучающихся по специальности 060000 «экономика и управление» (Пер. с англ под ред. проф. С.А. Айвазяна) серия «зарубежный учебник», М., ЮНИТИ-ДАНА, 2005, 863с.

16. Клоков В.И. Финансовые риски. Методическое пособие. СПб., СЗАГС, 2002.- 60 с.

17. Клоков В.И. Инвестиции, учебно- методический комплекс, СПб. Изд-во СЗАГС, 2004.- 32 с.

18. Клоков В.И. Финансовый рынок: расчет и риск, учебно- методический комплекс, СПб. Изд-во СЗАГС, 2005.-94 с.

19. Клоков В.И. Финансовые рынки, учебное пособие, изд-во. СЗАГС, СПб., 2005, 96.

20. Клоков В.И. Инвестиции, учебное пособие, изд-во. СЗАГС, СПб., 2009, 203.

21. Сайт дистанционного обучения СЗАГС www.de.szags.ru/klokov