Изучение свободных затухающих колебаний физического маятника

Цель работы: изучение свободных затухающих колебания физического маятника. Определение момента инерции маятника и параметров колебаний: периода колебаний, логарифмического декремента затухания. Вычисление ускорения свободного падения.

Твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной оси О₁, не проходящей через его центр тяжести, называется физическим маятником. Таковым является однородный металлический стержень массой m и длиной L, подвешенный на оси О₁, удаленной от центра масс О на величину l (см. рис.1).

Из-за трения механическая энергия маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Так как маятник совершает вращательные движения относительно неподвижной оси О, то они описываются основным уравнением динамики вращательного движения:

, (1)

где j- угол отклонения маятника; e = d²j/dt² - угловое ускорение, I - момент инерции маятника относительно оси подвеса, М - результирующий момент всех сил, действующих на тело. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести, M_{в р}= -m×g×l×sinj и тормозящего момента, создаваемого силами трения:

M_тор= -r×w, где r - коэффициент трения, w,=dj/dt - угловая скорость. Знак "-" в формуле для вращательного момента отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, т.е. в сторону уменьшения угла. Знак "-" в формуле для тормозящего момента связан с тем, что направление силы трения всегда противоположно направлению движения.

При малых углах отклонения (6-10⁰), допустимо считать sinj @ jтогда M_вр=-m×g×l×j и уравнение (1) можно представить в виде:

. (2)

Поделив все слагаемые на I и, введя обозначения:

, (3)

где b - коэффициент затухания, а w₀ - собственная циклическая частота незатухающих колебаний маятника, придем к дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний:

. (4)

Решением этого уравнения является функция

. (5)

Множитель A= A₀×е^-b×·t представляет собой амплитуду затухающих колебаний в момент времени t; A₀ - амплитуда в начальный момент времени. Выражение под знаком синуса - фаза колебаний в любой момент t, a₀ - начальная фаза (t = 0), w-циклическая частота затухающих колебаний. График функции (5) для a₀ = 0 представлен на рис.2.

Количественной характеристикой затухания служит логарифмический декремент затухания d. Он определяется как логарифм отношения двух следующих через время равное периоду T амплитуд.

. (6)

При слабом затухании трудно определить уменьшение амплитуды за один период, поэтому для нахождения d удобно брать n периодов. В этом случае, время наблюдения, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в S раз, равняется n×T. Тогда получим:

(7)

Из (7) с учетом (6) получим выражение для логарифмического декремента затухания в виде:

. (8)

Обычно принимают S=2. Тогда lnS = ln2 = 0,693. Решение уравнения (4) показывает, что частота собственных свободных затухающих колебаний w меньше, чем частота свободных не затухающих колебаний w₀ и определяется соотношением: .

При большом I и малом r согласно (3) может реализоваться неравенство b <<w₀. Тогда влиянием затухания на частоту колебаний (период) невелико и им можно пренебречь. Из выражения (3) и соотношения w₀=2p/T получим приближенную формулу для периода колебаний физического маятника:

. (9)

Отсюда следует, что

. (10)

Формула (10) широко используется для определения моментов инерции тел произвольной формы, теоретическое вычисление которых представляет значительные трудности.

Для физического маятника в виде однородного стержня момент инерции относительно оси подвеса вычисляется по теореме Штейнера:

I = I₀ + m×l² (11)

где I₀ - момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, l - расстояние от центра масс до оси вращения.

Если I и m известны, то измеряя период Т физического маятника можно по формуле (10) определять g. Такой подход используется на практике в некоторых типах гравиметров.

В данной работе для определения I₀ и r воспользуемся графическим методом. Для этого выразим момент инерции в формуле (10) с помощью уравнения (11), и, умножив правую и левую часть на 4p²/mg, получим:

T²l= 4p²I₀/mg+ 4p²l²/g (12)

Введем обозначения:

y = T²×l, x = l²,

, (13)

что позволяет представить зависимость (12) в виде линейной функции y=b+Ах и по угловому коэффициенту А прямой определить величину g:

.

По отрезку b, отсекаемому продолжением прямой на оси ординат, можно определить I₀ из формулы (13), используя табличное значение g. При этом появляется возможность сравнения экспериментального значения I₀ с вычисленным по формуле I_теор = mL²/12, где m -масса однородного стержня, L - его длина.