Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены

Комплексные числа и многочлены

Тема 1 Комплексные числа

Мы надеемся, что вы внимательно ознакомились с введением, и уяснили порядок работы с настоящим пособием.

Начните обязательно с изучения теоретического материала по данной теме. Для этого используйте конспект лекций, рекомендуемые нами учебники или какую-либо другую учебную литературу, которой вы располагаете. Затем, с помощью приведенных ниже вопросов для самоконтроля, проверьте, насколько твердо вы усвоили теорию. Ответы рекомендуем записывать в специальную тетрадь – это впоследствии поможет вам при подготовке к экзамену.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение комплексного числа, его действительной, мнимой части. Как обозначают действительную и мнимую часть комплексного числа? Какую форму записи комплексного числа называют алгебраической формой?

2. Как геометрически можно изобразить комплексное число? Приведите пример. Какую плоскость называют комплексной плоскостью?

3. Какие числа называют комплексно-сопряженными, противоположными? Как геометрически изображаются эти числа?

4. Какие комплексные числа называются равными? Что означает каждое из утверждений: а) число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru равно нулю; б) число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru не равно нулю; в) числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru различны?

5. Как выполняются операции сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел в алгебраической форме? Приведите пример.

6. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Как они обозначаются? Как найти модуль и аргумент?

7. Найдите модули и аргументы чисел, изображенных на рисунке 1.

8. Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Как связаны между собой модули и аргументы комплексно сопряженных чисел, противоположных чисел?

9. Какие формы записи комплексного числа вы знаете? Как осуществляется переход от одной формы к другой? Приведите пример.

10. Как выполняются операции умножения и деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме? Запишите формулу Муавра.

11. Каков геометрический смысл выражения |z1 – z2|?

Если вы сумели ответить на все вопросы, приступайте к выполнению индивидуального задания № 1 (задачи 1- 4).

Если же вам осталось непонятным, как выполнять операции над комплексными числами, то советуем еще раз обратиться к учебнику и конспекту лекций, а затем внимательно разобрать решение предложенных ниже задач. При этом, несомненно, будет полезной и приведенная нами краткая теоретическая информация.

Краткие теоретические сведения

Комплексные числа не являются числами в обычном смысле, они образуют множество С математических объектов, специально построенное таким образом, чтобы выполнялись условия:

I. На множестве С существует квадратный корень из (–1), т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен (–1).

II. Множество комплексных чисел С содержит все действительные числа (т.е. Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ).

III. Арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел – определены так, что обладают всеми основными свойствами, какими обладают эти операции на множестве действительных чисел (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность).

1.2.1) Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел: Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Комплексное число вида Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru отождествляется с действительным числом: Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , в частности, Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Комплексное число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru обозначается буквой i и называется мнимой единицей: Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Два комплексных числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru равны тогда и только тогда, когда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел определяются равенствами:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Из этих определений с очевидностью следуют равенства:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Þ Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Þ Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда если Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – произвольное комплексное число, то

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Поэтому всякое комплексное число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru можно записать в виде

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

– это выражение называют алгебраической формой комплексного числа.Число а называют действительной частью комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и обозначают Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru : Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; число b называют мнимой частью комплексного числа и обозначают Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru : Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Число вида Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru называют чисто мнимым.

1.2.2) Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по тем же правилам, что и действия с двучленами, с последующей заменой Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на –1:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Частное от деления числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , определяется равенством

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Степень Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , nÎN, комплексного числа z определяется равенством

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

В частности, учитывая i2 = –1, получаем

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , и т.д.

В общем случае, для натурального п

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

1.2.3) Комплексное число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru называется сопряженным числу Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , а числаz и `z называют комплексно-сопряженными. Справедливы равенства

(a + bi) + (a – bi) = a + bi + a – bi = 2а,

a + bi).(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2,

(a + bi) – (a – bi) = a + bi – a + bi = 2bi,

следовательно, в результате сложения и умножения комплексно-сопряженных чисел получаются действительные числа, а в результате вычитания – чисто мнимое число.

С помощью понятия сопряженного числа правило деления комплексных чисел можно определить следующим образом

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru называется противоположным числу Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Очевидно,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

1.2.4)Комплексное число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru изображают на координатной плоскости хОу либо точкой М(a; b), либо радиус-вектором Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru этой точки (рисунок 2). Плоскость хОу, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Ось Ох при этом называют действительной осью, т.к. на ней расположены точки, соответствующие действительным числам Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Ось Оу называют мнимой осью, на ней лежат точки соответствующие чисто мнимым комплексным числам Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Комплексно-сопряженным числам z и `z соответствуют точки (векторы), симметричные относительно действительной оси. Противоположные числа z и –z изображаются точками (векторами), симметричными относительно начала координат (рисунок 2).

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru В силу геометрического представления комплексного числа в виде вектора, сумму и разность комплексных чисел можно найти графически по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма, рисунок 3).

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Условимся в дальнейшем конкретное (фиксированное) комплексное число обозначать Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , а произвольное (переменное) комплексное число обозначать Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Числу Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на комплексной плоскости соответствует переменная (текущая) точка.

1.2.5)Для комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru наряду с алгебраической формой записи Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru употребляется и другая, называемая тригонометрической формой:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Здесь Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – длина вектора Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , изобра­жаю­щего число z (рисунок 4); а j – угол, на который нужно повернуть положительную полуось Ох до совмещения ее с вектором Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Число r называют модулемкомплексного числа z и обозначают Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Модуль любого комплексного числа z определен однозначно: для Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru модуль есть положительное действительное число, Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; для Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru модуль равен нулю, Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Величину угла j называют аргументом числа z и обозначают Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Если поворот осуществляется против часовой стрелки, то Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , если – по часовой стрелке, то Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Аргумент Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru для числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2p. Значение Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , удовлетворяющее условию Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (или Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ), называют главным значением аргумента комплексного числа z и обозначают Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru *). Тогда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . В дальнейшем будем использовать главное значение аргумента, удовлетворяющее условию Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Для числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru аргумент неопределен, и поэтому можно записать

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , j – любое.

Комплексно сопряженные числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и ` Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru имеют одинаковые модули, а их аргументы отличаются знаком:

| Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru | = | z |, аrg Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = – аrg z (рисунок 5).

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Противоположные комплексные числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru также имеют одинаковые модули, а их аргументы отличаются на Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru(рисунок 6):

| – z | =| z |, аrg (–z) = p + аrg z .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

1.2.6) Действительная часть Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , мнимая часть Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , модуль Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и аргумент Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru связаны соотношениями

(1) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и (2) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Формулы (1) позволяют от тригонометрической формы комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru перейти к алгебраической форме Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

1.2.7) Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме можно осуществить с помощью формул (2) по следующему правилу.

1) Вычислить модуль заданного комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru по формуле Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

2) Найти аргумент*) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Для этого:

а) определить местоположение числа z на комплексной плоскости либо по чертежу, либо в уме;

б) если Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru изображается точкой Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , лежащей на одной из координатных осей, то значение Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru определяется очевидным образом (рисунок 7).

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

в) если число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru изображаетсяточкой Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (рисунок 8), не лежащей на осях координат, то вычислить Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и найти угол Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru **); затем, учитывая свойство Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , записать:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru где Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

       
 
х
 
   
Рисунок 8. Точка М(а, b) не лежит на оси.
Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru
I четверть
Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

1.2.8)Над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, операции умножения, деления и возведения в целую степень, выполняются по следующим правилам.

А) Чтобы найти произведение двух комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Б) Чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно поделить модуль первого на модуль второго, а аргументы – вычесть:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

В) Чтобы возвести комплексное число в целую степень, нужно модуль возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , ( Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru )

– эту формулу называют формулой Муавра.

1.2.9) Корнем п-й степени из комплексного числа w называют такое комплексное число z, что Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ( Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ). Корень п-й степени из числа w обозначается Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Если w ¹ 0, то существует ровно п различных значений Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Все значения Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru корня п-й степени из комплексного числа

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

можно найти по формуле

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

придавая k последовательно значения 0, 1, 2, … , n–1.

На комплексной плоскости все точки Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru принадлежат окружности радиуса Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются друг от друга на Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и делят эту окружность на п равных частей. Иными словами, они являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в эту окружность.

Корни п-й степени из числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , по определению, равны нулю.

В частности, можно доказать, что Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

1.2.10) Комплексное число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru может быть записано в показательной форме
Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,
где символом Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru обозначено комплексное число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Равенство Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru называют формулой Эйлера.

Если даны числа z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и z2 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , то

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,.

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , k = 0, 1 Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , 2, …,п–1.

По определению полагают Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Это значит, что Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru есть комплексное число, модуль которого равен Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , а аргумент равен b.

Для степени Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru с комплексным показателем сохраняются все свойства, справедливые для степеней с действительным показателем.

Перейдем теперь к решению задач

1.3 Примеры решения типовых задач

Пример 1.3.1

Даны числа z1 = 2 – 3i , z2 = – 1 + i. Требуется:

а) аналитически и графически найти z1 + 2z2, z2 –`z1;

б) вычислить Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Результаты изобразить на комплексной плоскости.

Решение.

а) Числа z1 и z2 записаны в алгебраической форме, поэтому выполним указанные операции, используя информацию 1.2.2. Получим

z3 = z1 + 2z2 = (2 – 3i) + 2(–1 + i) = 2 – 3i – 2 +2i = – i;

z4 = z2 –`z1 = (–1 +i) – (2 + 3i) = –1 + i – 2 – 3i = –3 – 2i .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Выполнить указанные действия графически – это значит, использовать геометрическое представление комплексных чисел Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на комплексной плоскости. Число z1 изображается точкой Z1(2; –3) или вектором Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (рисунок 9), а число z2 – точкой Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru или вектором Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда числу 2z2 соответствует вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , а числу Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru + Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Сложение векторов выполним по «правилу параллелограмма» (рисунок 9). В результате получим вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru + Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Этот вектор есть радиус-вектор точки Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , которая, как следует из рисунка 9, имеет координаты Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Значит, число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Полученный результат совпадает с результатом сложения Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , полученным аналитически.

Найдем графически разность Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Учитывая, что

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

построим вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , соответствующий числу `z1 (этот вектор симметричен вектору Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru относительно действительной оси, рисунок 10), затем

построим вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , соответствующий числу (–`z1). Тогда, по «правилу параллелограмма»,

z2 –`z1 = z2 + (–`z1) = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru + Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

а вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru есть радиус-вектор точки Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , которая, как следует из рисунка 10, имеет координаты Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Значит, комплексное число z4 = –3 –2i, что также совпадает с результатом, полученным аналитически.

б)Учитывая правила действий с комплексными числами (информация 1.2.2), находим

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru =

= Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Полученное комплексное число изображено на рисунке 11 в виде вектора.

Далее находим, используя правило деления комплексных чисел (информация 1.2.3.):

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Вектор, соответствующий этому числу, изображен на рисунке 12.

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Пример 1.3.2

Найти модули и аргументы заданных комплексных чисел и записать эти числа в тригонометрической форме.

а) z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; б) z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; в) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Решение

а) Число z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru запишем в алгебраической форме:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда его мнимая и действительная части равны соответственно:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Чтобы найти модуль и аргумент числа, используем информацию 1.2.6. По формуле Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru находим модуль числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru :

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Аргумент числа найдем, используя изображение этого числа на комплексной плоскости. Числу Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru соответствует точка Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , которая расположена на отрицательной части мнимой оси Оу (рисунок 13), или вектор Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Поэтому Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда в тригонометрической форме число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru может быть записано следующим образом:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Замечание. В рассмотренном случае можно было и модуль числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru найти исходя из геометрического изображения этого числа как длину вектора Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – она, очевидно, равна 3.

б) Число z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru также запишем в алгебраической форме:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Изобразим данное число на комплексной плоскости (рисунок 14) в виде точки Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru или вектора Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Из рисунка находим модуль и аргумент числа z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru :

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ;

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (или Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ).

Теперь можно записать заданное число в тригонометрической форме:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

в) На первый взгляд кажется, что число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru записано в показательной форме. Но это не так! Показательная форма Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru комплексного числа представляет собой произведение действительного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и экспоненты Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru с чисто мнимым показателем. Поэтому сначала преобразуем заданное число, используя свойства степеней:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

– получили показательную форму записи числа (информация 1.2.10), откуда, очевидно, модуль этого числа равен Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , а аргумент Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (рад.).

Теперь, используя формулу Эйлера Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , запишем

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда получим тригонометрическую форму записи заданного числа

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Пример 1.3.3

Записать заданные комплексные числа в трех формах: алгебраической, тригонометрической, показательной.

а) z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; б) z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Решение

а) Число z = – Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru записано в алгебраической форме. Запишем его в тригонометрической форме.

Найдем модуль r и аргумент j числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , для этого воспользуемся алгоритмом, сформулированным в пункте 1.2 (информация 1.2.6).

1) Действительная и мнимая части данного числа равны соответственно

а = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , b = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

поэтому модуль числа равен

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

2) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Найдем аргумент числа z = – Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Находим:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

откуда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Точка М Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , изображающая заданное число, расположена в III четверти (рисунок 15), поэтому значение Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru будет равно Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Тогда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

3) Запишем тригонометрическую форму числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru :

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Используя найденные значения модуля и аргумента, нетрудно записать число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и в показательной форме:

z = – Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Таким образом, получено представление комплексного числа z в трех формах:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

б) Сначала запишем число z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru в алгебраической форме Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Для этого преобразуем

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Получили алгебраическую форму заданного числа: z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Чтобы записать это число в тригонометрической и показательной форме, найдем его модуль r и аргумент j = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Имеем:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Так как число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru изображается точкой Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , принадлежащей II четверти (рисунок 16) , то используем формулу Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , где Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (информация 1.2.7). Таким образом,

j = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = p + a = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Так как при решении инженерных задач окончательный результат принято доводить до цифровой десятичной записи числа, то найдем, например, с помощью калькулятора приближенное значение

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru (радиан),

отсюда

j = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = 3,14 – 0,46= 2,68 (радиан).

Тогда тригонометрическая форма числа z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru имеет вид

z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

а показательная форма z = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Таким образом, заданное число представлено в трех формах:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Пример 1.3.4

Даны комплексные числа z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и z2 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Вычислить: а) z1.z2; б) z110; в) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Решение

а) Чтобы выполнить указанные действия, нужно числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru записать в одной и той же форме: алгебраической, тригонометрической или показательной. Так как число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru легко записать в тригонометрической форме, а степень Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru проще всего найти с помощью формулы Муавра (информация 1.2.8), то вычисления будем производить, используя тригонометрическую форму комплексных чисел Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru запишем сначала в алгебраической форме, для чего выполним операцию деления числа w1= Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на число w2 = 1+i по правилу деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме (информация 1.2.3):

z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru i.

Получили алгебраическую форму числа z1:

z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Найдем тригонометрическую форму этого числа. Имеем

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Чтобы найти аргумент числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , можно воспользоваться известным уже алгоритмом (информация 1.2.7, или пример 1.3.3). Но в данном случае аргумент легко определить графически, если изобразить число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на комплексной плоскости (рисунок 17). Учитывая Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , видим, что число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru лежит на биссектрисе четвертого координатного угла, значит,

j1 = arg z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда тригонометрическая форма комплексного числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru имеет вид

z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Рассмотрим второе число: z2 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , его записать в тригонометрической форме совсем просто: для этого достаточно вынести числовой множитель 3 за скобку, а оставшееся в скобках выражение представить в виде суммы Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , воспользовавшись четностью функции cosj и нечетностью функции sinj:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда, по правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме: «модули – перемножить, аргументы – сложить» (информация 1.2.8), получим

z1.z2 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .( Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ) =

= Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru =

= Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Полученное число можно записать в алгебраической форме

z1.z2 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru » 1,55 – 5,8i

(значения тригонометрических функций вычислены с помощью калькулятора).

б) Вычислим z110 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , используя формулу Муавра (информация 1.2.8) и найденную выше тригонометрическую форму записи числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru :

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Получили чисто мнимое число ­ –1024i.

в)Вычислим Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Здесь Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – число, сопряженное числу

z1 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Поскольку комплексно сопряженные числа имеют одинаковые модули, а их аргументы отличаются только знаком (информация 1.2.5), то можно сразу записать число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru в тригонометрической форме:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда частное от деления Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на z2 = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru найдем по правилу «модули – поделить, аргументы – вычесть» (информация 1.2.8):

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

= Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Пример 1.3.5

Решить уравнение:

а) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; б) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ;

в) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ; г) Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Полученные результаты изобразить на комплексной плоскости.

Решение

а)Решим квадратное уравнение Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , используя известный («школьный») алгоритм. Найдем дискриминант

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Если бы требовалось найти действительные корни данного уравнения, то в случае отрицательного дискриминанта мы должны были бы сделать вывод, что действительных корней уравнение не имеет. Но мы ищем решение уравнения на множестве комплексных чисел, где операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа определена (информация 1.2.9). Поэтому получаем

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Тогда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Итак, корнями данного квадратного уравнения являются комплексные числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Изобразим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 18)

Замечание. Обратите внимание, полученные корни Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru являются комплексно сопряженными числами. Можно доказать и в общем случае, что если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то это обязательно комплексно сопряженные числа.

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru б)Уравнение Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru будем решать аналогично предыдущему:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет корни Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Эти корни изображены на рисунке 19.

в)Рассмотрим уравнение Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Как известно, решить уравнение – значит, найти такое число z (вообще говоря, комплексное), которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. А найти комплексное число – значит, найти либо его действительную и мнимую части, либо модуль и аргумент.

Пусть Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – искомое число. Тогда |z| = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Подставив эти выражения в заданное уравнение, получим

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – (x + iy) ­– 3 – 2i = 0.

Запишем обе части этого равенства в виде комплексного числа

( Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – х – 3) + (– у – 2)i = 0 + 0i.

Учитывая условие равенства комплексных чисел (информация 1.2.2), приравняем соответственно действительные и мнимые части чисел, стоящих в левой и правой частях полученного равенства. Приходим к системе уравнений

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

Решая второе уравнение системы, находим: у = –2. Преобразуем первое уравнение системы:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = х +3, (о.д.з. х ³ –3), откуда х2 + у2 = (х + 3)2,

х2 + у2 = х2 + 6х + 9, у2 = 6х + 9.

Полагая в последнем равенстве у = –2, получим

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru 4 = 6х + 9, 6х = – 5, х = – Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Итак, найдена действительная Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и мнимая Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru части искомого числа z. Следовательно, решением данного уравнения является число z = – Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru – 2i. Оно изображено на рисунке 20.

г) Преобразуем заданное уравнение:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Þ Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Þ Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Следовательно, задача состоит в нахождении всех корней третьей степени из комплексного числа w = –1 + i.

Рекомендуем находить все значения корня Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , используя следующий алгоритм.

1. Записать комплексное число w в тригонометрической форме

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

2. Записать общую формулу корней из данного числа:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

3. Найти все значения корня по этой формуле, полагая последовательно k = 0, 1, 2, … , n–1.

Используем этот алгоритм для отыскания корней третьей степени из числа Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Запишем это число в тригонометрической форме, для чего находим его модуль и аргумент:

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Þ Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ;

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

а так как точка Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , изображающая число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , лежит во второй четверти, то

j = arg w = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Таким образом, Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Тогда значения корня третьей степени из числа w находим по формуле

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru

при k = 0, 1, 2.

Полагая в этой формуле k = 0, получим первый корень заданного уравнения

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

При k = 1 получаем второй корень Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Наконец, при k = 2 получаем третий корень Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru Геометрически корни Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru заданного уравнения располагаются на окружности радиуса Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru с центром в начале координат и делят ее на три равные части. Корни Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru изображены на рисунке 21, где Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru ,

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Пример 1.3.6

Какой геометрический смысл имеет модуль разности Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru двух комплексных чисел?

Решение

Пусть Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru , тогда Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и

Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru = Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru .

Из школьного курса геометрии известно, что число Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru равно расстоянию между точками с координатами Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru . Но точки Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru и Краткие теоретические сведения. Комплексные числа и многочлены - student2.ru на комплексной плоскости соответствуют рассмотренным числам z1 и z2.

Наши рекомендации