Прямая линия в трёхмерном пространстве

Способы задания прямой

I. Пусть d – какая-либо прямая в пространстве, точка , и .

– направляющий вектор прямой.

Тогда произвольная точка . По теореме о коллинеарных векторах верно равенство , , (1)

это ­ векторно-параметрическое уравнение прямой.

Таким образом, чтобы задать прямую d, достаточно задать одну ее точку и направляющий вектор . Обозначение: .

Уравнение (1) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками прямой d и значениями параметра . Параметр t является координатой точки M в системе координат на прямой d.

Введем аффинную систему координат в пространстве. Тогда , , .

Из (1), переходя к координатам, имеем: или (2)

Обратно, из (2) следует (1). Значит, (2) определяет прямую d в пространстве. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой.

II. Пусть в уравнениях (2) . Из (2) выразим t:

. (3)

а) Пусть одна какая-либо координата вектора равна нулю, например, .

Тогда из (2) следует система уравнений: . (3')

Здесь, т.к. , то || (XOY), а, значит, и d || (XOY).

б) Пусть две координаты направляющего вектора равны нулю, например, .

Из (2) следует система: . (3'')

Тогда || (OX), а, значит, и d || (OX).

Уравнения (3), (3'), (3'') называются каноническими уравнениями прямой.

III. Прямая d однозначно определена, если заданы две ее точки, например, , . Тогда за направляющий вектор можно принять вектор . Пусть в репере введены координаты , , значит, .

Из системы (2) получим , или, выделяя из каждого уравнения t и приравнивая, имеем: . (4)

IV. Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей .

Пусть в репере плоскости заданы уравнениями

(5)

И ранг матрицы равен 2 (т.к. ).

Тогда система уравнений (5) определяет прямую d.

Замечание: Рассмотрим векторы нормалей к плоскостям и . Тогда вектор будет параллелен d. Т.е. можно считать направляющим вектором прямой d вектор . Координаты его можно определить .

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть в репере прямая d задана параметрически

(1)

а плоскость α задана общим уравнением: . (2)

Будем искать общие точки прямой и плоскости, т.е. решения системы уравнений (1) и (2). Подставим (1) в (2) и сгруппируем по t:

. (3)

Могут быть следующие случаи:

1. Система уравнений (1), (2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда (3) имеет единственное решение: . (4)

Т.е. условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой d и плоскости α.

В выражение (4) имеет следующий геометрический смысл:

1) если – направляющий вектор прямой d и – вектор нормали плоскости α, то по (4), а, значит, и не перпендикулярны;

2) прямая d ^ α , т.е. когда ранг матрицы равен 1.

2. Система из (1) и (2) не имеет решений тогда и только тогда, когда (3) не имеет решений, т.е. когда

(5)

Условия (5) являются критерием того, что d и α не имеют общих точек.

В прямоугольной системе координат они означают, что .

3. Система уравнений (1) и (2) имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда уравнение (3) удовлетворяет любым значениям t, т.е. когда

(6)

Значит, условия (6) являются критерием того, что .

В прямоугольной системе координат система (6) означает, что , и .

Из (5) и (6) заключаем, что .

Взаимное расположение двух прямых в трёхмерном пространстве

Пусть имеются две прямые и , каждая из которых задана точкой и направляющим вектором с координатами в аффинной системе координат : , , , .

1. Прямые d и d^¢ лежат в одной плоскости – компланарны., то есть в координатной форме:

или смешанное произведение .

Пусть d и d^¢ лежат в одной плоскости, тогда они пересекаются или параллельны.

а) и – неколлинеарны ранг матрицы равен .

б) и .

Параллельность прямых распадается на два случая:

*) Если неколлинеарны, то отсюда следует, что .

**) Если .

Методом от противного можно доказать достаточность этих условий.

2. Прямые d и d^¢ не лежат в одной плоскости, значит, они скрещиваются. Тогда или .

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой d и не перпендикулярной к ней плоскостью α называется острый угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией d´ на плоскость α.

Пусть в : (1)

, (2)

где d и α не перпендикулярны.

Обозначим , где – ортогональная проекция d на α; , где , .

Если φ – острый угол, то и .

Если φ – тупой угол, то и .

Тогда .

Значит, .

Угол между двумя прямыми в пространстве

Пусть в прямые заданы каждая точкой и направляющим вектором: , , , .

Определение. Угол между прямыми d и d´ в пространстве определяется как угол между прямыми, параллельными данным и проходящими через одну точку.

Его величина может быть найдена как величина угла между направляющими векторами данных прямых по формуле:

.

Следствие: .

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть в прямая задана точкой и направляющим вектором: , и дана точка .

Построим , достроим параллелограмм MM₀NK, тогда , где h – высота параллелограмма, S – площадь параллелограмма.

Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

Пусть в прямые заданы каждая точкой и направляющим вектором: , , , .

Тогда из критерия компланарности векторов следует, что

.

Необходимо найти уравнение прямой m такой, что . Тогда , тогда можно рассмотреть , и пусть .

Прямую m будем искать как пересечение плоскостей α и β:

,

.

Рассмотрим плоскость α: (а значит ) . Следовательно, векторы – компланарны, то есть

.

Аналогично .

Тогда искомый перпендикуляр – прямая m, задается системой уравнений плоскостей α и β.

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина отрезка общего перпендикуляра, заключенного между данными прямыми.

Пусть в прямые заданы каждая точкой и направляющим вектором: , , , .

Тогда . Здесь – направляющий вектор общего перпендикуляра двух данных прямых.