Корни многочлена и схема Горнера. Полиномы над числовыми полями

Комплексные числа

1. Вычислить: (2+3i)(4–5i) + (2–3i)(4+5i).
2. Найти х и у, считая их действительными числами: (1+2i)x + (3–5i)y = 1–3i
3. Вычислить, пользуясь формулой Муавра: .
4. Извлечь все корни: 1) . 2) . 3) . 4) .
5. Выполнить действия: .

Теория делимости

1. Вычислить НОД(588, 2058, 2849) двумя способами.
2. Вычислить НОД(99, 162) двумя способами.
3. Построить графики функций:

а) y=j (x), б) y=t(x), в) y= s(x), где x Î N.

14. Вычислить j (x),t(x), s(x), где x=588, x= 2058 .

Системы линейных уравнений

1. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:
   1) 2)
   3) 4)
   5) 6) .
2. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Крамера

1) 2)

Линейные системы векторов. Векторные пространства.

11. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1) =(1, 2, 1), 2) =(1,–2,–1),
=(1, 1,–1), =(–1, 1,–1),
=(–1,–3,–3). =(–1,–3,–3).

12. Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства многочленов от одной переменной степени £ 2 над полем R, если
=f₁(x)=3+x+2x², =f₂(x)=–2+x–x².

1. Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , , не выражается линейно через остальные.
2. Подпространство V₀ натянуто на систему векторов , где
   =(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V₀.
3. Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

1) =(1,0,0,-1), =(2,1,1,0), =(1,1,1,1), =(1,2,3,4), ,

2) =(1,1,1,-1,0), =(1,1,-1,-1,-1), =(2,2,0,0,-1), =(1,1,5,5,2), .

1. Вычислить ранг матрицы ; .

17. Найти один из базисов данной системы векторов и выразите остальные векторы системы через базисные, если =(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(–1,–3,–3), =(–1,–3,–3).

18. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе: =(1, 1, 1), =(1, 1,2), =( 1, 2, 3), =( 6,9,14).

Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида , где a, b, c, dÎR.

Матрицы и определители

1. Умножить матрицы: ,
2. Найти , если А= .
3. Решить матричное уравнение: 1) ×X = 2)
4. Вычислить: 1) , 2)
5. Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу: ,

Полиномы от одной переменной. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух полиномов

1. Разложить многочлен f(x)=x¹²–2x⁶+1 на неприводимые множители над полем действительных и комплексных чисел.
2. Найти остаток от деления f на g, пользуясь схемой Горнера: f=x⁴–2x³+4x²–6x+8, g=x–1.
3. Найти НОД и НОК: f₁=x³+2x²+3x +2, f₂=x⁴+x³+x²–x–2, f₃=x³–x²–4.
4. Найти НОД многочленов f(x) и g(x):
   1) f(x)=x⁶+x⁵–3x⁴+2x³+4x–2, g(x)=x⁵+3x⁴+x³+6x²+4x+6.
   2) f(x)=(x–1)⁸¹³(x+2)¹⁰⁷(x–3)⁹¹ , g(x)=x⁹+x⁸–5x⁷+x⁶+11x⁵–13x⁴–7x³+15x²–4.
5. Для многочленов f=x³–x²+3x–10 и g=x³+6x²–9x–14 найти такие многочлены u и v, что f·u+g·v=d, где d=НОД(f,g).
6. Найти НОД(f,g) и его линейное представление через f и g: f=x³+x²-x–1, g=x⁴+x³-3x²-4x-1.
7. Найти НОД(f,g) , НОК[f,g] и линейное представление НОД через f и g : f=x⁴–4x³+1, g=x³–3x²+1.

Корни многочлена и схема Горнера. Полиномы над числовыми полями

1. Найти кратность корня c = –2 у многочлена f, если f=x⁵+6x⁴+11x³+2x²–12x–8.
2. Разложить f по степеням двучлена x+2, если f=3x⁵+7x⁴+x³–2x+3 (с помощью схемы Горнера).
3. Отыскать рациональные корни многочлена f(x):

1) f(x)=x⁴-2x³-8x²+13x-24,

2) f(x)=10x⁴-13x³+15x²-18x-24,

Основные понятия теории групп. Кольца и поля.

1. Доказать, что множество целых чисел, кратных 3, есть подгруппа аддитивной группы целых чисел.
2. Доказать, что множество матриц вида , где аÎR \ {0}, есть подгруппа мультипликативной группы G всех невырожденных матриц второго порядка.
3. Доказать, что отображение x ® 3^x является изоморфизмом аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел.
4. Исследовать, образует ли кольцо относительно операций сложения и умножения матриц множество М матриц вида , где a, b- любые действительные числа.
5. Проверить, образует ли поле кольцо <A,+,•> , если A= .
6. Проверить, отображение j, такое, что
   j: → , является ли изоморфизмом поля F₁ на поле F₂, где F₁= , F₂=Q( )= , а операции определены как обычно.