Признаки возрастания и убывания функции. асимптоты

Признаки возрастания и убывания функции

Определение 8.1.Функция у = f (x) на интервале ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ) называется:

а) постоянной, если f (x) = c, где с = const, для любого х Î ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru );

б) возрастающей,если для любых двух значений х1, х2 Î ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ) из неравенства х1 < х2 следует неравенство f (x1) < f (x2);

в) убывающей,если для любых двух значений х1, х2 Î ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ) из неравенства х1 < х2 следует неравенство f (x1) > f (x2).

Теорема 8.1. (достаточное условие возрастания и убывания функции).

Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке; если же производная равна нулю, то функция постоянна на промежутке.

Доказательство.Рассмотрим функцию y = f (x) на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ). Возьмём произвольно х1, х2 Î ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ) такие, что х1 < х2. По теореме Лагранжа

f (x2) – f (x1) = f '(c)(x2 − x1), где с Î (х1; х2).

Возможны следующие случаи:

1) производная f '(x) > 0 на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ). Тогда f '(c) > 0, x2 − x1 > 0 и поэтому f (x1) – f (x2) > 0, т. е. f (x1) < f (x2). Следовательно, f (x) возрастает на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru );

2) производная f '(x) > 0 на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ). Тогда f '(c) > 0, x2 − x1 > 0 и поэтому f (x1) – f (x2) < 0, т. е. f (x1) > f (x2). Следовательно, функция у = f (x) убывает на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru );

3) производная f '(x) = 0 на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ). Тогда f '(c) = 0, откуда f (x1) – f (x2) = 0, т. е. f (x1) = f (x2).

Это означает, что функция у = f (x) постоянна на ( признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ).

Асимптоты

Если график функции сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую называют асимптотой. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Определение 8.2.Прямая х = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru называется вертикальной асимптотойграфика у = f (x), если хотя бы одно из предельных значений признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru f (x), признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru f (x) является бесконечным.

Например, прямая х = 2 – вертикальная асимптота графика у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru , так как признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru = −¥, признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru = +¥.

Определение 8.3.Предположим, что функция у = f (x) определена при сколь угодно больших (по модулю) значениях аргумента. Для определённости будем рассматривать положительные значения аргумента. Прямая

у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru

называется наклонной асимптотойграфика функции у = f (x), если эта функция представима в виде

f (x) = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ,

где признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru – бесконечно малая функция при х → +¥.

Теорема 8.2. (необходимые и достаточные условия существования асимптоты).

График функции у = f (x) имеет при х → +¥ наклонную асимптоту у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела

признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru , признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru . (8.1)

Доказательство.Пусть график функции у = f (x) имеет асимптоту у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru . Тогда f (x) = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru , где признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru = 0. Следовательно,

признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru ,

признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru .

Обратно. Пусть существуют пределы (8.1). Тогда из равенства признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru можем записать также, что признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru . Это означает, что функция признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru является бесконечно малой функцией при х → +¥. Отсюда f (x) = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru и по определению прямая у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru является наклонной асимптотой.

Пример 8.1.Рассмотрим функцию у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru .

Так как признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru и признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru , то график функции имеет наклонную асимптоту у = признаки возрастания и убывания функции. асимптоты - student2.ru .

Экстремум функции.

Наши рекомендации