Функции нескольких переменныХ
Пример 9. Фирма производит товар двух видов в количестве x и y соответственно. Функция полных издержек определена соотношением 
.
Построить на плоскости Oxy множество производственных возможностей, определяемое ограничением на издержки в объеме 
ден. ед.
Решение. множество производственных возможностей задается системой неравенств:
 |
и является криволинейным треугольником, ограниченным на плоскости Oxy четвертью эллипса с полуосями
; 
и осями координат. Задача 9.Полные издержки фирмы, производящей товар двух видов в количестве x и y соответственно, заданы функцией 
Построить на плоскости Oxy множество производственных возможностей, определяемое ограничением на издержки в объеме С0:
9.1. 
;
9.2. 
, 
;
9.3. 
;
9.4. 
, 
;
9.5. 
;
9.6. 
;
9.7. 
;
9.8. 
;
9.9. 
;
9.10. 
Пример 10.1. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид 
.
Построить изокванты, соответствующие значениям объема выпуска продукции в объемах: 
ед., 
ед. и 
ед.
Решение. Изокванта – линия постоянного выпуска. Уравнение изокванты: 
. Возведем обе части уравнения в квадрат. получим 
. Для изокванты имеем уравнение 
, или 
. Аналогично для изокванты имеем уравнение 
, а для изокванты получаем уравнение 
. Графики этих изоквант 
части гипербол, расположенные в первой четверти:
Пример 10.2. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид 
.
Построить изокванты, соответствующие значениям объема выпуска продукции в объемах: ед., 
ед. и 
ед.
Решение. Изокванты производственной функции 
определяются условием
и представляют собой «уголки», скользящие по прямой 
. Графики этих изоквант изображены ниже.
 |
Вершина изокванты
имеет координаты 
, вершина изокванты 
имеет координаты 
, вершина изокванты 
имеет координаты 
. Задача 10.Задана производственная функция 
однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов.
Построить изокванту, соответствующую значению объема выпуска продукции 
ед.
10.1.  ; | 10.6.  ; |
10.2.  ; | 10.7.  ; |
10.3.  ; | 10.8.  ; |
10.4.  ; | 10.9.  ; |
10.5.  ; | 10.10.  . |
Пример 11. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид 
.
Найти предельную производительность труда 
и капитала 
.
Решение. Предельная производительность труда вычисляется по формуле 
, а предельная производительность капитала по формуле 
. Вычисляя частные производные функции двух переменных , получаем 
и 
.
Ответ: , 
.
Задача 11.Задана производственная функция 
однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов.
Найти предельную производительность труда и капитала .
10.1.  ; | 10.6.  ; |
10.2.  ; | 10.7.  ; |
10.3.  ; | 10.8.  ; |
10.4.  ; | 10.9.  ; |
10.5.  ; | 10.10.  . |
Пример 12. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид 
.
Найти коэффициент эластичности производственной функции по труду и по капиталу .
Решение. Формулы для вычисления коэффициента точечной эластичности функции 
по переменным 
и 
имеют вид 
и 
соответственно. Для производственной функции коэффициент эластичности производственной функции по капиталу будет вычисляться по формуле 
, а коэффициент эластичности по труду по формуле 
.
Для заданной производственной функции получаем
и
.
Задача 12.Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид .
Найти коэффициент эластичности производственной функции по труду и капиталу .
12.1.  ; | 12.6.  ; |
12.2.  ; | 12.7.  ; |
12.3.  ; | 12.8.  ; |
12.4.  ; | 12.9.  ; |
12.5.  ; | 12.10.  . |
Пример 13. Функция полезности потребителя двух товаров, приобретаемых им в количествах x и y соответственно, задана соотношением 
.
Найти предельную норму замещения первого товара вторым.
Решение. Предельная норма замещения первого товара вторым показывает, на сколько надо увеличить потребление второго товара при уменьшении потребления первого товара на единицу. Формула для вычисления предельной нормы замещения первого товара вторым имеет вид 
, где 
предельная полезность первого товара, а 
предельная полезность второго товара. Таким образом, 
.
Ответ: 
.
Задача 13.Функция полезности потребителя двух товаров, приобретаемых им в количествах x и y соответственно, задана соотношением 
.
Найти предельную норму замещения 
го товара 
ым товаром.
13.1.  ; | 13.6.  ; |
13.2.  ; | 13.7.  ; |
13.3.  ; | 13.8.  ; |
13.4.  ; | 13.9.  ; |
13.5.  ; | 13.10.  . |
Пример 14. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количествах x и y, задана соотношением 
. Цены этих товаров на рынке равны соответственно 
ден. ед. и 
ден. ед.
Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль 
и чему она равна.
Решение. Функция прибыли равна разности функций дохода 
и функции полных издержек 
:
.
Выпишем необходимое условие экстремума функции двух переменных:
.
Таким образом, 
‑ стационарная точка, точка возможного экстремума.
Проверим достаточные условия максимума. Для этого найдем производные второго порядка:
;
;
.
Вычислим: 
; 
; 
и
. Следовательно, точка является точкой экстремума функции, а так как 
, то точка является точкой локального максимума.
Имеем: 
.
Ответ: 
.
Задача 14.Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количества x и y, задана соотношением 
. Цены этих товаров на рынке равны соответственно 
ден. ед. и 
ден. ед.
Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и чему она равна.
14.1. 
; 
; 
;
14.2. 
; 
; 
;
14.3. 
; 
; 
;
14.4. 
;
;
;
14.5. 
; 
;
;
14.6. 
; 
;
;
14.7. 
; 
;
;
14.8. 
; 
;
;
14.9. 
; 
; ;
14.10. ;; .
Пример 15. функция полезности потребителя двух товаров, приобретаемых в количествах и соответственно, имеет вид 
.
Определить объем оптимальной покупки, если доход потребителя 
ден. ед., цены на покупаемые товары равны соответственно 
ден. ед., 
ден. ед. и на рынок поступает не более 
единиц товара первого вида.
Решение. Бюджетное множество потребителядвух товаров задается системой неравенств 
и представляет собой трапецию ОАВС.
Кривыми безразличия (линиями постоянной полезности) являются прямые 
, параллельные прямой 
(при 
).
Наибольшая полезность потребителя достигается в угловой точке В, лежащей на пересечении прямых 
и 
. Точка В имеет координаты (20; 22). Следовательно, объем оптимальной покупки потребителя определяется 20 ед. первого товара и 22 ед. второго товара.
Ответ: ед.; 
ед.
 |
Задача 15.полезность потребителя двух товаров, приобретаемых в количествах
и соответственно, задается функцией 
. Определить объем оптимальной покупки, если известно: доход потребителя равен 
ден. ед., цены на покупаемые товары равны соответственно 
ден. ед. и 
ден. ед. и на рынок поступает не более 
единиц товара i-вида.
15.1. 
; 
; 
; i = 2; 
;
15.2. 
; ; ; i = 2; ;
15.3. ; ; ; i = 1; ;
15.4. ; ; 
; i = 1; ;
15.5. 
; 
; 
; i = 2; 
;
15.6. 
; ; ; i = 2; ;
15.7. ; ; 
; i = 1; ;
15.8. ; ; ; i = 1; ;
15.9. 
; 
; 
; i = 2; 
;
15.10. 
; 
; ; i = 1; .
Пример 16. функция полезности потребителя двух товаров, приобретаемых в количествах и соответственно, имеет вид 
.
Определить объем оптимальной покупки, если доход потребителя 
ден. ед., а цены на покупаемые товары равны соответственно 
ден. ед. и 
ден. ед.
Решение. Бюджетное множество потребителядвух товаров задается системой неравенств 
и представляет собой прямоугольный треугольник.
Кривые безразличия (линии постоянной полезности) есть гиперболы 
. объем оптимальной покупки достигается в точке касания кривой безразличия бюджетной линии и определяется системой уравнений:
или 
.
Ответ: 
ед.; 
ед.
Задача 16.функция полезности потребителя двух товаров, приобретаемых в количествах и соответственно, имеет вид .
Определить объем оптимальной покупки, если доход потребителя ден. ед., а цены на покупаемые товары равны соответственно ден. ед. и ден. ед.
16.1. 
; ; ;
16.2. 
; ; ;
16.3. 
; ; 
;
16.4. 
; ; ;
16.5. 
; 
; ;
16.6. 
; ; 
;
16.7. 
; 
; 
;
16.8. 
; 
; 
;
16.9. 
; 
; 
;
16.10. 
; ; 
.
Пример 17. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количества x и y, задана соотношением . Цены этих товаров на рынке равны соответственно ден. ед. и ден. ед.
Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме ден. ед.
Решение. Так как оптимальный выпуск 
не удовлетворяет условию 
(см. пример 14), то решаем задачу на условный экстремум.
целевой функцией является функция прибыли
, а уравнением связи 
уравнение 
. С учетом последнего получаем, что 
.
Для решения задачи на условный экстремум составим систему уравнений
Из последнего уравнения находим 
. Тогда 
. Таким образом, ограничение на издержки сокращает выпуск продукции и уменьшает прибыль фирмы 
ден. ед. (сравнить с примером 14).
Ответ: 
ед.; ед.; 
ден. ед.
Задача 17.Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количества x и y, задана соотношением . Цены этих товаров на рынке равны соответственно ед. ден. и ден. ед.
Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме 
ден. ед., и чему она равна.
17.1. ; ; 
;
17.2. ; ; ; 
;
17.3. 
; 
;
; 
;
17.4. ;;; 
;
17.5. 
;;
; 
;
17.6. 
; 
;
; 
;
17.7. 
; 
;
; 
;
17.8. ; ;; 
;
17.9. ; ;; 
;
17.10. 
;
; 
; 
.
Пример 18.1. Производственная функция однопродуктовой фирмы задана соотношением 
.
Вычислить оптимальный объём выпуска продукции, если издержки не могут превышать 
ден. ед. и известны цены на ресурсы: 
ден. ед. и 
ден. ед.
 |
Решение. в точке оптимального объема выпуска изокванта (линия постоянного выпуска) касается изокосты (линии постоянных издержек),
что позволяет составить систему уравнений
или
.
оптимальный объём выпуска продукции составляет 
ед.
Ответ: 
ед.
Пример 18.2. Производственная функция однопродуктовой фирмы задана соотношением .
Вычислить оптимальный объём выпуска продукции, если издержки не могут превышать 
ден. ед. и известны цены на ресурсы: ден. ед. и ден. ед.
 |
Решение. Изокванты производственной функции
представляют собой «уголки», скользящие по прямой (см. пример 10.2). Ресурсы, необходимые для производства оптимального объёма выпуска продукции, определяются точкой пересечения этой прямой с изокостой (линией постоянных издержек) 
.
Решая систему линейных уравнений 
, находим объемы ресурсов, необходимые для оптимального объема выпуска фирмы. Тогда 
.
Ответ: 
ед.
Задача 18. задана производственная функция однопродуктовой фирмы .
Вычислить оптимальный объём выпуска продукции, если издержки не могут превышать ден. ед. и известны цены на ресурсы: 
ден. ед. и 
ден. ед.
18.1. 
; 
; ; 
;
18.2. 
; ; ; 
;
18.3. 
; 
; 
; 
;
18.4. 
; ; 
; 
;
18.5. 
; ; ;
18.6. 
; ; ; ;
18.7. 
; ; 
;
18.8. 
; ; ; ;
18.9. 
; ; ; ;
18.10. 
; ; 
;
18. 11. 
; ; ; ;
18.12. 
; ; ; 
;
18.13. 
; ; ; ;
18.14. 
; ; 
;
18.15. 
; ; .