Исследовать и построить график

Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.

Общая схема исследования функций и построение их графиков. Пример.

1. область определения. Точки разрыва.

2. если есть точки разрыва, то находим ВА

3. исследуем поведение функций при x→∞, т.е. находим ГА

4. y’. y’=0, схема знаков производных между критическими точками, устанавливаем точки экстремума

5. точки пересечения гр.функций с осями 0х и 0у

6. исследование на четность/нечетность функции

Исследовать и построить график

у = е ^2х-х2

1. d (у)= (-∞ж+∞)

^2. е ^{2х - х2}= е^-х2 = е^-∞=0 d =0- ГА

^3. у’= (е ^{2х - х2})’= е ^{2х - х2}*(2-2х)

у’ =0

2-2х=0

х=1

23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать). Осн.правила диф-ния ф-ции одной переменной: 1.Производная постоянной равна нулю,т.е. с’=0. 2.Произв.арг-та равна 1,т.к. х’=1. 3.Произв-я алгебрач.суммы конечного ч-ла дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций, т.е. (u+ν)’=u’+ ν’. 4.Произв.произведений 2-х дифференц-х ф-ций (uν)’=u’ν+uν’. Следствие1:Пост.множ-ль можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’. Следствие2: (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’ Доказательство:Пусть u=u(x) и ν=ν(x) – дифференцируемые ф-ции. Найдём производную ф-ции y=uν. 1º.Дадим аргументу х приращение ∆х≠0. Тогда ф-ции u и ν получат наращенные зн-я u+∆u и ν+∆ν, а ф-ция y – значение y+∆y=(u+∆u)(ν+∆ν). 2º.Найдём приращ.ф-ции ∆y=(u+∆u)(ν+∆ν)-uν = uν + ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν-uν = ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν. 3º.Составим отношение ∆y/∆x, кот.представим в виде ∆y/∆x=(∆y/∆x)ν + u(∆ν/∆x) + (∆u/∆x)(∆ν/∆x)∆x. 4º.Найдём предел этого отнош-я при ∆х→0, используя теоремы о пределах lim_∆x→0∆y/∆x= lim_∆x→0(∆u/∆x)ν + u lim_∆x→0(∆ν/∆x) + lim_∆x→0(∆u/∆x)∙lim_∆x→0(∆ν/∆x)∙lim_∆x→0∆x. На основании опр-я производной получили,что y’=u’ν+uν’+u’ν’∙0 или y’=u’ν+uν’.чтд. 5.Производная частного двух дифференцируемых ф-ций м.б.найдена по ф-ле: (u/ν)’=(u’ν-uν’)/ν². (ν≠0).   25. . Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем. Теорема Ролля. Пусть ф-ция y=f(x) удовлетворяет след-м усл-ям: 1)непрерывна на отр.[а;b]; 2)дифференцируема на инт-ле(а;b); 3)на концах отрезка принимает равные зн-я,т.е. f(a)=f(b). Тогда внутри отрезка сущ-ет по крайней мере одна такая точка ξпринал.(а,b), в кот.производная ф-ция равна нулю:f’(ξ)=0. Геом.смысл т.Ролля:Если выполнены усл-я теоремы, то внутри отрезка [а;b] найдётся хотя бы одна точка, в кот. касат-я к гр-ку ф-ции будет ||-на оси абсцисс;в этой точке производная и будет равна нулю. Теорема Лагранжа. Пусть ф-ция y=f(x) удовлетвор.след-м усл-ям: 1)непрерывна на отр. [а;b]; 2)дифференцируема на инт-ле(а;b); Тогда внутри отрезка сущ-ет по крайней мере одна такая точка ξпринал.(а,b), в кот.производная равна частному от деления приращения ф-ции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. f’(ξ)=(f(b)-f(a))/b-a. Геом.смысл т.Лагранжа:внутри отр. [а;b] найдётся хотя бы одна точка ξпринад.(а,b),в кот. касательная к гр-ку ф-ции, проведённая через т.ξ будет ||-на секущей (АВ).   31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Опр. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует дно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана фун-я нескольких переменных z=f(x₁, …, x_n). Пример:Фун-я z=a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n + b, где a, b – постоянные числа, наз-ся линейной. Опр. Частной производной фун-и нескольких переменныхпо одной из этих переменных наз-ся предел отношения соответствующего частного приращения фун-и к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Опр. Точка M (x₀, y₀) наз-ся точкой максимума (минимума) фун-и z=f(x,y), если сущ-ет окрестность точки Mб такая, что для всех точек (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x₀, y₀) ≥ f(x, y), (f (x₀, y₀) ≤ f(x, y)). Теорема. Пусть точка (х₀,y₀) – есть точка экстремума диф-мой фун-и z=f(x, y). Тогда, частные производные f’_x(x₀, y₀) и f’_y(x₀, y₀) в этой точке равны нулю. Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума z=f(x, y), т.е. частные производные z’_x и z’_y равны нулю, называются критическими или стационарными.   27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать). Опр.экстремума ф-ции одной пер-ной. Экстремум-это максимум и минимум ф-ции. Опр1:Точка х₀ наз-ся точкой максимумаф-ции f(x),если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)≥f(x₀). Опр2:Точка х₁ наз-ся точкой максимума ф-ции f(x),если в некоторой окрестности точки х₁ выполн-ся неравенство f(x)≤f(x1). Значения ф-ции в точках х₀ и х₁ наз-ся соотв-но максимумом и минимумом ф-ции. Максимум и минимум ф-ции объединяются под общим названием экстремума ф-ции. На одном промежутке ф-ция может иметь несколько экстремумов,причём может случиться, что минимум в одной т-ке больше максимума в другой f_min(x₂)>f_max(x₀),см. рис.   Необходимое усл-е экстремума. Для того, чтобы ф-ция y=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась 0 (f’(x₀)=0) или не существовала. Точки, в кот.выполнено необх.усл-е экстремума,т.е. производная равна нулю или не сущ-ет, наз-ся критическими (или стационарными). Эти точки должны входить в обл.определения ф-ции.(Если в точке х₀ дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум, то в нек-ой окрестности этой точки выполнены условия тео-мы Ферма, и, следовательно, производная фун-и в этой точке равна нулю.Т.е.f’(x₀)=0. Но фун-я может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.) Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная диф-мой фун-и y=f(x) меняет свой знак с плса на минус, то точка х₀ есть точка максимума фун-и y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума. Доказательство.Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х₀) производная положительна (f’ (x) >0), а в некотором интервале (х₀, b) – отрицательна (f’ (x) < 0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функции f(x) возрастает на интервале (а, х₀) и убывает на интервале (х₀, b). По определению возрастающей функции f(x₀) > f(x) при всех х принадлежащем (а, х₀), а по определению убывающей функции f(x) < f(x₀) при всех х принадлежащем (х₀, b), т.е. f(x₀)≥f(x) при всех х принадлежащем(а, b), следовательно, х₀ – точка максимума функции y=f(x). Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f”(x₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f’(x); если f”(x₀) отрицательна, то в x₀ – точка максимума. Доказательство. Пусть f’(x₀) =0, а f” (x₀) >0. Это означает, что f” (x) = (f’(x₀))’ >0 также и в некоторой окрестности точки х₀, т.е. f’(x) возрастает на некотором интервале (a, b), содержащую точку х₀. Но f’(x₀) =0, следовательно, на интервале (а, х₀) f’ (x) >0, т.е. f’ (x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, т.е. х₀ – точка минимума.   41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса. Опр. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающие искомую функцию одной или нескольких переменный, эти переменные и производные различных порядков данной фун-и. Общим решением диф-ного урав-я n-ого порядка называется такое решение: y=φ (x, C₁, ..., C_n), которое является фун-ей переменной x и n произвольных независимых постоянных C₁, C₂,…, C_n. Частным решением диф-ного урав-я наз-ся решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных C₁, C₂,…, C_n. Задачи Коши – это решения урав-я удовлетворяющих условию x₀ y₀ : y₀=f(x₀).   45. Гармонический ряд и его расходимость (доказать). 1+1/2+1/3+...+1/n+... – гармонический ряд. Док-во:lim при n стремящимся к беско-ти U_n=lim 1/n = 0; S_2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/n+1 +…+1/2n. S_n=1+1/2+1/3+…+1/n. S_2n-S_n=1/n+1 +…+1/2n. S_2n-S_n>1/2n+…+1/2n = n*1/2n=1/2 или S_2n-S_n>1/2. lim при n-> бескно-ти S_n=lim S_2n=S, переходя к пределу в неравенстве, получим, что S-S>1/2 или 0>1/2. След-но, гармонический ряд расходится.   32. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений). Метод наименьших квадратов. Дана экспериментальная зависимость

x	x1	x2	….	xn
y	y1	y2	….	yn

n-экспериментальных точек