Решение типового примера. П р и м е р . Исследовать функцию и пост -роить ее график

П р и м е р . Исследовать функцию и пост -роить ее график.

1. Область определения функции: .

2. Так как функция является многочленом, следовательно она непрерывна.

3. Исследуем на четность и нечетность

. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для определения интервалов монотонности и точек экстремума находим первую производную функции

; .

. Это критические точки. Результаты исследования знака производной и выводы сведем в таблицу:

		-4
	+		–		+
		mах		min

Представим в виде произведения . Определим знаки на каждом интервале: .

5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба найдем вторую производную функции:

;

.

Исследуем поведение знака в окрестности точки .

		–1
	–		+
	выпукла		вогнута

Точка – точка перегиба.

6. Найдем несколько дополнительных точек графика функции

.

7. По результатам исследования строим график.

Рис. 1.

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных

При изучении этой темы следует усвоить определения частных производных и правила их вычисления, обратить внимание на схему нахождения частных производных высших порядков. При решении задач на экстремум нужно придерживаться последовательности действий по исследованию функции.

Вопросы для изучения и самопроверки

1. Определение функции двух и нескольких переменных. Область определения.

2. Частные производные функции двух переменных.

3. Полный дифференциал функции двух переменных.

4. Частные производные высших порядков.

5. Условия экстремума функции двух переменных.

6. Схема исследования функции двух переменных на экстремум.

Задачи 121 –140.Найти частные производные 1–го порядка функции двух переменных.

121. а) ;	б) .
122. а) ;	б) .
123. а) ;	б) .
124. а) ;	б) .
125. а) ;	б) .
126. а) ;	б) .
127. а) ;	б) .
128. а) ;	б) .
129. а) ;	б) .
130. а) ;	б) .
131. а) ;	б) .
132. а) ;	б) .
133. а) ;	б) .
134. а) ;	б) .
135. а) ;	б) .
136. а) ;	б) .
137. а) ;	б) .
138. а) ;	б) .
139. а) ;	б) .
140. а) ;	б) .

Решение типовых примеров

П р и м е р ы. Найти частные производные 1-го порядка заданных функций..

1. .

.

.

2. .

;

.

Задачи 141–160.Исследовать на экстремум заданные функции.

141. .

142. .

143. .

144. .

145. .

146. .

147. .

148. .

149. .

150. .

151. .

152. .

153. .

154. .

155. .

156. .

157. .

158. .

159. .

160. .

Решение типового примера

Найти экстремум функции , если .

Р е ш е н и е.

1. Областью определения функции являются все точки координатной плоскости .

2. Находим частные производные первого порядка:

; .

Приравняем частные производные к нулю, решив полученную систему, получим критическую точку

Точка – стационарная, подозрительная на экстремум.

3. Находим частные производные второго порядка:

;

; ; .

Таким образом получаем

; ; .

Составим выражение .

Так как следовательно точка не является точкой экстремума.