Непрерывность элементарных функций

Лекция 3. Непрерывность функции

Содержание лекции: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Асимптоты графика функции.

1. непрерывность функции в точке.

С понятием предела связано другое важное понятие математического анализа – понятие непрерывности функции.

Когда мы давали определение предела функции в точке х0, то отмечали, что х0 – предельная точка области определения функции – может и не принадлежать этой области. Кроме того, когда говорили, что х стремится к х0, не требовали, чтобы х = х0, хотя при вычислении предела прежде всего вычисляли значение функции в предельной точке. Особый интерес представляет именно случай, когда х0ÎD(f) , х принимает значение х0 и Непрерывность элементарных функций - student2.ru .

Определение 3.1. Пусть х0 – точка из области определения функции. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0 , если

Непрерывность элементарных функций - student2.ru .

Если это условие не выполняется, то функция имеет разрыв в точке х0

Согласно теореме 2.1(критерию существования предела), Непрерывность элементарных функций - student2.ru существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f(x0+0) и f(x0–0) и эти пределы равны между собой. Тогда критерий непрерывности функции в заданной точке может быть сформулирован так.

Теорема 3.1.(Критерий непрерывности)

Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда функция определена в этой точке, существуют конечные односторонние пределы f(x0+0) и f(x0–0) и выполняется равенство

f(x0+0) = f(x0–0) = f(x0).

Отсюда следует алгоритм исследования непрерывности функции в заданной точке:

1) проверить существование f(x0);

2) проверить существование конечных односторонних пределов f(x0+0) и f(x0–0);

3) проверить равенство f(x0+0) = f(x0–0);

4) проверить равенство f(x0+0) = f(x0–0) = f(x0).

Если все условия выполнены, то функция в точке х0 непрерывна.

Если хотя бы одно условие нарушено, то функция в точке х0 терпит разрыв.

Определение 3.2.

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода (разрыва с конечным скачком), если существуют конечные односторонние пределы f(x0+0) и f(x0–0) , но f(x0+0) ¹ f(x0–0).

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (например, равен ¥).

Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные пределы f(x0+0) и f(x0–0) и

f(x0+0) = f(x0–0) ¹ f(x0).

Из сформулированного выше алгоритма и определения 3.2 следует, что если не выполнено первое условие алгоритма (функция в точке х0 не определена), то можно только сделать вывод, что в этой точке функция терпит разрыв. Характер же разрыва определяется при проверке условий 2 – 4 алгоритма.

если не выполнено условие 2, то разрыв – второго рода (рис 8 а, б, в).

Непрерывность элементарных функций - student2.ru

Если не выполнено условие 3, а условие 2 выполнено, то разрыв – первого рода, при этом условие 1 может быть выполнено (рис.9, а, в), а может быть и не выполнено (рис.9, б). В случае разрыва первого рода число

w = | f(x0+0) – f(x0–0)|

называется скачком функции в точке х0.

       
  Непрерывность элементарных функций - student2.ru
 
   
Рис.9

Непрерывность элементарных функций - student2.ru Если выполнены условия 2 и 3, но нарушено условие 4 или 1, то функция имеет устранимый разрыв (рис.10)

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем следующую терминологию. Если при своем изменении переменная х от значения х0 перешла к значению х1, то говорят, что х получила приращение

Dх = х1 – х0.

При этом функция у = f(x) также получит приращение

Dу = f(x1)– f(x0) = f(x0+Dх) – f(x0),

где х1 = х0+Dх, а f(x0+Dх) = f(x0) + Dу – новое, приращенное, значение функции.

Определение 3. 3.Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0 , если х0Î D(f) и малому приращению функции соответствует малое приращение аргумента, т.е.

Непрерывность элементарных функций - student2.ru .

Можно доказать, что определения 3.1 и 3.3 эквивалентны. Действительно, если, то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x0| < d Þ | f (x) – f (x0) | < e. Но так как х – х0 = Dх, а f(x)– f(x0) = Dу, то получаем " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | < d Þ | Dу | < e. Это значит, что Непрерывность элементарных функций - student2.ru .

Наоборот, если Непрерывность элементарных функций - student2.ru , то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | < d Þ | Dу | < e, откуда, учитывая Dх = х – х0 и Dу = f(x)– f(x0), получим " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x0| < d Þ | f (x) – f (x0) | < e. А это значит, что Непрерывность элементарных функций - student2.ru . ЧТД.

Определение 3.4.Функция, непрерывная в каждой точке отрезка [a; b], называется непрерывной на этом отрезке.

Множество точек, в которых данная функция непрерывна, называют областью непрерывности этой функции.

Непрерывность элементарных функций

Сформулируем основные свойства непрерывных в точке функций в виде теорем.

Теорема 3.2.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Доказательство: Рассмотрим, например, линейную функцию у = ах +b. Область определения этой функции (–¥, +¥). Возьмем произвольную точку х = х0 из области определения, придадим переменной х приращение Dх и рассмотрим соответствующее приращение Dу функции

Dу = (а(х0 + Dх) +b) – (ах + b)) = аDх.

Тогда Непрерывность элементарных функций - student2.ru , что, согласно определению 3.3, и означает непрерывность линейной функции в точке х0, т.е. в произвольной точке области определения.

Аналогично, для функции у = sinx, xÎ R. получаем для любого х:

Непрерывность элементарных функций - student2.ru

Непрерывность элементарных функций - student2.ru ,

что также означает непрерывность функции у = sinx в произвольной точке х области определения.

Для остальных элементарных функций доказательство аналогично.

Теорема 3.3

Если функции f(x) и g(x) определены в области D и непрерывны в точке х0ÎD, то в этой точке также непрерывны функции f(x) .g(x), f(x) ± g(x), Непрерывность элементарных функций - student2.ru , если g(x0) ¹ 0.

Доказательство: Эти утверждения следуют непосредственно из определения непрерывной в точке функции и свойств пределов (теорема 2.5).

Например, если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то Непрерывность элементарных функций - student2.ru и Непрерывность элементарных функций - student2.ru . Тогда, по теореме 2.5,

Непрерывность элементарных функций - student2.ru ,

что и означает непрерывность частного в точке х0.

Непрерывность суммы, разности и частного доказать самостоятельно.

Теорема 3.4.

Пусть функция j(х) определена на множестве D, а функция f(у) определена на множестве Е(j). Если j(х) непрерывна в точке х0ÎD, а f(у) непрерывна в точке у0 = j(х0), то сложная функция f(j(x)) непрерывна в точке х0. (без доказательства)

Учитывая определение элементарной функции, из теорем 3.2, 3.3 и 3.4. получаем

Следствие.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом, областью непрерывности всякой элементарной функции является ее область определения.

Из теоремы 3.4 следует еще одно важное свойство – возможность перехода к пределу под знаком функции:

Непрерывность элементарных функций - student2.ru

Например,

Непрерывность элементарных функций - student2.ru .

Наши рекомендации