Непрерывность функций. Точки разрыва

Найти точки разрыва функции

1.81.Исследовать на непрерывность функцию на отрезке:

1.82.Исследовать на непрерывность функцию

на отрезке:

Определить характер точек разрыва:

Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Понятие производной. Вычисление производных.

Исходя из определения производной, найдите производную функции:

Вычислить производные:

2.17.Найти значение производной функции :

Найти

Найти

Найти

Найти

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций:

2.44. y=cos (x² +2x - 4). 2.45. y=sin (x³ - 3x +5).

2.46. y=sin e^x. 2.47. y=cos ln x .

2.48. y=e ^2x-3 . 2.49. y=e .

2.50. y=e^tgx . 2.51. y=e^sinx .

2.52. y= ln(1+2 ). 2.53. y= ln( 2x² +4x -1).

2.54. y= ln cos x . 2.55. y=ln(2e^x+3) .

2.56. y= (3x+2)¹¹ . 2.57. y=(x³+x²+1)¹⁰ .

2.58. y= ln⁵ x . 2.59. y=(e^x - 1)⁶ .

2.60. y= sin²x . 2.61. y=cos³ x .

2.62. y= tg ¹⁰x . 2.63. y=ctg² x .

2.64. y= ln (5x+7) . 2.65. у= e^2x-9 .

2.66. y= sin 3x . 2.67. y=cos 10x .

2.68. y= tg . 2.69. y=arctg 5x .

2.70. y= tg x². 2.71. y= ctg e^x.

2.72. y= arctg . 2.73. y=arctg sinx .

2.74. y= arcsin e^x . 2.75. y= arcsin .

2.76. y= . 2.77. y= .

2.78. y= . 2.79. y= .

2.80. y= 2sin 3x +3cos 2x . 2.81. y= 2arctg 5x + e^10x .

2.82. y= x ln (3x+1) . 2.83. y=sinx e^{cos x} .

2.84. y= . 2.85. y= .

2.86. y= ln sin e^x . 2.87. y= sin ln(e^x+1) .

2.88. y= cos³ x² . 2.89. y= sin² x³ .

2.90. y= e . 2.91. y= arctg .

2.92. y= 2^{arctg lnx} . 2.93. y= .

2.94. y= arcsin . 2.95. y= arcsin e^4x .

2.96. y= . 2.97. y= .

2.98. y= ln ( ). 2.99. y= ln ln( +10) .

2.100. y= tg³ . 2.101. y= ctg⁵ .

2.102. y= ln . 2.103. y= ln .

2.104. y= . 2.105. y= .

2.106. y= ln cos . 2.107. y=

2.108. y= e . 2.109. y= .

2.110. y= tg sin cos 2x . 2.111. y= arccos .

2.112. y= x^sinx . 2.113. y= .

Составить уравнения касательных к графикам функций:

2.114. y=x² - 3x + 2 в точке (3;2) .

2.115. y= в точке (4;2) .

2.116. y= ln x в точке пересечения с осью Оx.

2.117. y= x² - 5x + 6 в точках пересечения с осью Оx .

2.118. y=e^7x в точке пересечения с осью Оy.

2.119. y=x³ - x² + x + 1 в точке (-1;-2) .

2.120. При каких значениях х касательные к графику функции

y=x³ -7x параллельны прямой y=5x?

2.121. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гиперболе y= в точке (1;1) .

Понятие дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Найти дифференциалы функций:

2.122. y= x³ - 3ln x . 2.123. y= cos x e^x .

2.124. y= sin 3x . 2.125. y= tg ln x .

2.126. y= x² arctg x . 2.127. y= .

2.128. y= . 2.129. y= .

2.130. y= arcsin e^x . 2.131. y= .

2.132. y= 2.133. y=

2.134. Найти приращение y и дифференциал dy

1) функции у=х², если х=3, х=0,01;

2) функции у= , если х=1 , х= -0,2;

3) функции у= , если х= 1 , х=-0,1351;

4) функции у= x³, если х= 1 , х= 0,1.

2.135. Найти приближенно приращение у:

1) функции у= , если х= 4 , х= 0,08;

2) функции у= sinx , если х= , х= 0,02;

3) функции у= lnx , если х= 5 , х= -0,1.

Найти производные 2-го порядка от функций:

2.136. у= sin2x. 2.137. у= arctg x.

2.138. у= x² lnx. 2.139. у= e^x sin x.

2.140. у= arcsin x. 2.141. у= ln cosx.

2.142. у= e . 2.143. у= .

2.144. у= ctg x. 2.145. у= .

Найти производные 3-го порядка от функций:

2.146. y=e^x cosx. 2.147. y= x² e^x .

2.148. y=ln(2x+5). 2.149. y= xlnx.

Найти производные n-го порядка от функций:

2.150. y= . 2.151. y= e^2x.

2.152. y= 5^x. 2.153. y= ln(1+x).

2.154. y= xe^x. 2.155. y= (2x-3)ⁿ.

Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:

2.156. y= x³ - 3x² + x + 1. 2.157. y= (0,1x+1)⁵.

2.158. y= xcos2x. 2.159. y= sin²x.

2.160. y= 25 x². 2.161. y= ln(1+x²).

2.3.Основные теоремы дифференциального исчисления.

Правило Лопиталя.

2.162. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:

1) f(x)=x, x [0,1];

2) f(x)= ;

3) f(x)= , x [-1,1] ?

Пояснить графически.

2.163. Применима ли теорема Ролля к функции f(x)=1 - на

отрезке [-1,1] ?

2.164. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:

1) f(x) = sinx на отрезке [ ];

2) f(x) = на отрезке [ -2,2];

3) f(x) = x² -2x-15 на отрезке [ 0,2];

4) f(x) = x³ +2x² -x -2 на отрезке [ -1,1];

5) f(x) = на отрезке [ ];

6) f(x) = на отрезке [ ] ?

В случае применимости теоремы найти точку с, в которой .

2.165. Доказать, что уравнение х³ +3х - 5 = 0 имеет только один вещественный корень.

2.166. Проверить, применима ли теорема Лагранжа к функциям:

1) f(x) = x³ на отрезке [-1,1];

2) f(x) = на отрезке [ 0,4];

3) f(x) = ln x на отрезке [1,2];

4) f(x) = x² - 3x + 2 на отрезке [ 3,5];

5) f(x) = на отрезке [-1,2].

В случае применимости найти точку с , для которой

где а,b - концы указанных отрезков.

2.167. Написать формулу Лагранжа для функции f(x)=x² на отрезке [a,b] и найти с. Пояснить графически.

2.168. В какой точке касательная к параболе у=х² параллельна хорде, стягивающей точки А(-1;1) и В(3;9)? Пояснить графически.

2.169. В какой точке касательная к кривой у=arctg x параллельна хорде, стягивающей точки А(0;0) и В(1; ?

2.170. Построить график функции у= на отрезке [0,3]. Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хорде ? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?

2.171. Проверить, что функции:

1) f(x) =sin x и g(x)=cosx на отрезке

2) f(x) = x² и g(x)= на отрезке [ 1,4];

3) f(x) = x² +2x + 3 и g(x) =x³ +1 на отрезке [ 0,1];

4) f(x) = x³ и g(x)=x² на отрезке [a,b], 0 [a,b],

удовлетворяют условиям теоремы Коши. Для каждой пары функций

найти точку с, в которой где а,b - концы указанных отрезков.

2.172. Удовлетворяют ли условиям теоремы Коши функции f(x)=e^x

и g(x)= на отрезке [-2,2]?

Найти пределы с помощью правила Лопиталя:

2.173. 2.174.

2.175. 2.176.

2.177. 2.178.

2.179. 2.180.

2.181. 2.182.

2.183. 2.184.

2.185. 2.186.

2.187. 2.188.

2.189. 2.190.

2.191. 2.192.

2.193. 2.194.

2.195. 2.196.

2.197. 2.198.

2.199. 2.200.

2.201.

2.202.

2.4. Исследование функций и построение графиков.

2.203. Найти максимумы и минимумы и промежутки возрастания и убывания функций:

1) f(x)=x³ - 3x² - 9x + 5; 2) f(x)=

3) f(x)=xlnx; 4) f(x)= x - arctg2x;

5) f(x)=x²e^-x.

2.204. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций:

1) f(x)=x³- 12x² +5x - 1; 2) f(x)= ;

3) f(x)=x²lnx; 4) f(x)=x arctgx.

Исследовать функции и построить их графики:

2.205. у=e . 2.206.у=12х-х³.

2.207.у= 2.208. у=

2.209. у= 2.210. у=

2.211. у= x ln² x. 2.212. у= x - lnx.

2.213. у= 2.214. у=

2.215. у= x+ arctgx. 2.216. у= x- arctg 2x.

2.217. y= 2.218. y=x² .

2.219. В промышленности нужно разместить заказ на изготовление цилиндрической емкости для расфасовки жидкого продукта. Каковы должны быть радиус основания и высота емкости, чтобы при заданном объеме V затраты на материал для ее изготовления были минимальными? Учесть при этом, что затраты на материал пропорциональны площади поверхности емкости.

2.220. Объем пакета в форме параллелепипеда для расфасовки молока равен W. Каковы должны быть стороны основания, чтобы затраты на материал упаковки были минимальными, если стороны основания относятся как 1:2. Принять, что затраты на материал пропорциональны площади поверхности пакета.

2.221. Переносной торговый павильон имеет форму конуса, для которого необходимо заказать ткань для покрытия. Каково должно быть соотношение между высотой и радиусом конуса, чтобы при заданной вместимости (объема) павильона W было затрачено минимальное количество материи?

2.222.Прямоугольная площадка, примыкающая одной стороной к каменной стене, с трех сторон огорожена железной решеткой. Какова должна быть длина сторон площадки, чтобы она имела наибольшую площадь, если имеется 200 м решетки?

2.223. Бак без крышки с квадратным основанием должен иметь объем 1 м³. Каково должно быть отношение стороны основания бака к высоте, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

2.224. Кооператив имеет грузовой автомобиль. Расходы на топливо для автомобиля пропорциональны кубу средней скорости его движения. Известно, что при скорости 20 км/час расходы на топливо составляют 4 у.е. в час; остальные же расходы, не зависящие от скорости, составляют 625 у.е. в час . При какой скорости движения автомобиля общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшая?

2.225. Директору универмага нужно принять решение о том, какого вида рекламное объявление целесообразно разместить в местной газете. Объем рекламного объявления (число строк) определяет объем продажи товара в стоимостном выражении, но не так однозначно, как этого бы хотелось: излишнее многословие в рекламе портит дело, и, если при объявлении в 20 строк текста ожидаемый объем продаж товара достигает 5800 у.е., то при объявлении в 60 строк текста объем продаж снижается до 2200 у.е. Связь между размером объявления и объемом продаж описывается зависимостью az²+bz+4000, где z - число строк в объявлении.Определить количество строк в рекламе, обеспечивающих универмагу максимальную выручку (с учетом расходов на рекламу), и размер этой выручки. Стоимость строки в объявлении составляет 30 у.е..

2.226. Директор продовольственного магазина установил из повседневной практики, что прибыль С(х) возрастает при увеличении объема завозимых продуктов х (кг) до определенного значения, а затем убывает при больших значениях х, так как слишком большой запас продуктов приводит к возникновению значительных затрат, связанных с их хранением и транспортировкой внутри магазина . Определите, какое количество продуктов (кг) следует завезти единовременно в магазин, чтобы прибыль от их продажи достигала максимального значения. Известно, что при завозе 300 кг продуктов прибыль составляет 10600 у.е., а при завозе 2,5 тонн продуктов прибыль увеличивается до 15000 у.е. Принять при этом С(х) =ах²+bх.

2.227. Зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска продукции имеет вид:

А=-0,01 х³ +300х - 500.

Определить, при каком объеме выпуска продукции финансовые накопления предприятия убывают и при каком возрастают.

2.228. На предприятии переменные издержки К в зависимости от объема выпуска продукции V составляют:

К= V³ - V² + 80V +300.

Исследовать, как изменяются издержки при изменении объема выпуска продукции. Построить график К (V).

2.229. В какой точке кривой у=х³ , х [1,2] следует провести касательную, чтобы она пересекала прямые х=1 и х=2 в точках, сумма расстояний до которых от оси абсцисс наибольшая . Написать уравнение этой касательной.

2.230. При каких а<0 касательная к графику функции у= в точке с абсциссой х=0,5 отсекает от координатного угла треугольник с наименьшей суммой длин катетов?

2.5. Применение дифференциального исчисления в экономических вопросах.

2.231. Зависимость спроса (объема продаж) от цены выражается формулой d(p)= . Определить, для каких p спрос эластичен, неэластичен, нейтрален.

2.232. Зависимость спроса от цены при р выражается формулой d(p)= , где >0-const. Определить, когда спрос будет эластичен, неэластичен, нейтрален.

2.233. Пусть х - объем продаж некоторого товара торговой фирмой, р(х) - функция спроса (выражает зависимость между ценой и объемом продаж), Z(х)- функция издержек (затраты фирмы на реализацию товара). Учитывая, что прибыль от продажи товара находится по формуле V(x) = x p(x) - Z(x), определить:

а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром будет прибыльной (убыточной);

б) оптимальные значения объема продаж х* и цены р*, обеспечивающие максимум прибыли V(x), вычислить V_max.

Используя эскизы графиков функций выручки W(x) =x p(x) и функции издержек Z(x), дать геометрическую интерпретацию полученным результатам.

Выполнить задание для случаев:

1) р(х)=155-3х, Z(x)=1800+5х;

2) р(х)= 100-2х, Z(x)= 375+3х²;

3) р(х)= Z(x)=21+х;

4) р(х)= Z(x)=20+0,5x.

В задачах 2.234 - 2.238 х-объем продаж некоторого товара торговой фирмой, Z(x) - функция издержек (затраты фирмы на реализацию товара), р₀ - равновесная рыночная цена товара, W(x)=p₀ x - выручка фирмы, V(x)= p₀ x - Z(x) - прибыль фирмы от продажи рассматриваемого товара.

2.234. Определить:

а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром будет прибыльной (убыточной);

б) оптимальный объем продаж х*, обеспечивающий максимум прибыли V(x), вычислить max V(x).

Выполнить задание для случаев:

1) р₀ =165, Z(x)= 3200 +5х ;

2) р₀ =650, Z(x)= 9000 +10х² ;

3) р₀ =560, Z(x)= 9600 +8х² .

Используя эскизы графиков функций W(x) и Z(x), дать геометрическую интерпретацию полученным результатам.

2.235. При каких значениях рыночной цены р₀ фирма будет иметь прибыль хотя бы при некоторых объемах продаж, если:

1) Z(x)= 3200+5х; 2) Z(x)=1000+10х;

3) Z(x)= 9000+10х²; 4) Z(x)= 9800 +8х² ?

Дать геометрическую интерпретацию полученным результатам.

2.236. При каких значениях рыночной цены р₀ фирма будет иметь убытки при любых объемах продаж, если:

1) Z(x)= 1800+5х;

2) 2) Z(x)=5000+4х² ?

2.237. При каких значениях параметра b₀ фирма будет иметь прибыль хотя бы при некоторых объемах продаж, если:

1) р₀ =165, Z(x)= b₀ +5х ;

2) р₀ =640, Z(x)= b₀ +10х² ;

3) р₀ =560, Z(x)= b₀ +8х² ?

2.238. При каких значениях параметра b₁ фирма будет иметь убытки при любых объемах продаж, если:

1) р₀ =165, Z(x)= 3200+b₁х ;

2) р₀ =50, Z(x)= 1000+b₁х ;

3) р₀ =750, Z(x)= 9000 +b₁х²;

4) р₀ =560, Z(x)= 9600 +b₁х²?

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.