Непрерывность основных элементарных функций.

Сформулируем теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, а также их композиции.

Доказательства этих теорем однотипны и основываются на опре­делении непрерывности функции в точке. Теорема. Если функции Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru и Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывны в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , то и функции Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывны в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Если, кроме того, Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , то функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru / Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru является также непрерывной в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Доказательство. Докажем, например, непрерывность функции Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Из непрерывности функций Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru и Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru следует, что Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Тогда

Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru .

т. е. функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывна в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Аналогично доказы­ваются другие утверждения теоремы. Эту теорему можно обобщить на случай конечного числа функ­ций: алгебраическая сумма и произведение конечного числа функций, непрерывных в точке х0, непрерывны в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru .

Сформулируем теорему о непрерывности сложной функции. Теорема. Сложная функция, являющаяся композицией ко­нечного числа непрерывных в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru функций, непрерывна в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru .

Доказательство. Докажем эту теорему для случая, когда сложная функция является композицией двух непрерывных в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru функций Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru и Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru .

Пусть Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , тогда по определению сложной функции

Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru .

Теорема утверждает, что если функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывна в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , а функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывна в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , то сложная функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывна в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru .

Действительно, пусть Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Тогда из непрерывности функции Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru следует, что Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , т. е. что Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru . Поскольку

Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru непрерывна в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , то Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Но так как Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru , то последнее равенство можно записать в виде Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru или Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru Из определения 1 непрерывной функции в точке Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru и последней теоремы следует, что Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru или в частном случае

Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru т. е. символы предела и непрерывной функции перестановочны. Приведем без доказательства следующие две теоремы.

Теорема. Пусть функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru моно­тонна и непрерывна. Теорема. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих их области определения.

21. Понятие производной функции одной переменной. Геометрический и физический смысл производной.

Производной функции f (x) в точке х0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента Δх, если прирост аргумента стремится к нулю и обозначается f ‘(x0). Действие нахождения производной функции называется дифференцированием.
Производная функции имеет такой физический смысл: производная функции в заданной точке — скорость изменения функции в заданной точке.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru

Физический смысл производной.Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Непрерывность основных элементарных функций. - student2.ru

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

(tnlim Vср (t) = 0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной).

(t) =x'(t).nИтак,

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x'(t) - скорость,u

'(t) - ускорение, илиna(f) = a(t) = x"(t). Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени, ω = φ'(t) - угловая скорость, ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса, [0; l], l - длина стержня,Îx р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω2x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза.

Наши рекомендации