Прямая система дифференциальных уравнений

с начальными условиями

Иногда удобно записывать системы уравнений Колмогорова в матричной форме. Введем матрицу вероятностей переходов для однородной цепи Маркова с непрерывным временем и конечным числом состояний, тогда системы уравнений можно записать в виде

– прямая,

– обратная.

Обратная система уравнений применяется обычно для нахождения значений функционалов от цепей Маркова, прямую систему уравнений можно применять для нахождения безусловного распределения вероятностей состояний системы в произвольный момент времени.

Пример. Пусть является однородной цепью Маркова с двумя состояниями, . Время пребывания в состоянии распределено по экспоненциальному закону с параметром ,а время пребывания в состоянии распределено по экспоненциальному закону с параметром . Составить прямую и обратную системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Найти матрицу вероятностей переходов из состояния в , .

Решение:

Пусть – случайная величина, характеризующая время пребывания в состоянии , тогда –вероятность того, что цепь Маркова за время перейдет из состояния в состояние ,а – вероятность того, что цепь Маркова за время не изменит своего состояния.

Аналогично, пусть – случайная величина, характеризующая время пребывания в состоянии , тогда

,

.

Находим матрицу инфинитезимальных характеристик :

,

,

,

.

Составим прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

(1)

(2)

(3)

(4)

Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова будет иметь вид:

,

,

,

.

Начальные условия:

Решая пары уравнений (1-2) и (3-4) находим искомые вероятности. Из первого уравнения получаем , подставляем в (2):

,

получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Откуда находим и, учитывая начальные условия, получаем ,

.

Аналогично, находим

,

.

Задание: убедитесь, что полученное решение обращает в тождество и обратную систему дифференциальных уравнений Колмогорова.

Для рассмотренного примера решим задачу нахождения безусловных вероятностей состояний системы в произвольный момент времени.

Для вероятностей и – методом составим прямую систему Колмогорова. Учитывая, что

,

,

,

,

имеем

.

Разделив полученные выражения на , и устремив , получим систему дифференциальных уравнений вида

.

Пусть в начальный момент цепь Маркова находилась в состоянии , то есть , . Тогда решение системы дифференциальных уравнений принимает вид:

,

.