Поступательного движения твердого тела

19.Тело массой m = 2,0 кг движется прямолинейно по закону s = A – Bt + + Ct² – Dt³, где A = 6,0 м, B = 3,0 м/с, C = 2,0 м/c², D = 0,40 м/с³. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

Ответ: F = (t) m = 3,2 Н.

20.Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с различными массами m₁ и m₂ (например, m₁>m₂), которые подвешены на нити, перекинутой через легкий неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, найти: а) ускорение грузов a; б) силу натяжения нити T; в) силу, действующую на ось блока F.

Ответ: а) ;

б)

в)

21.Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела в h раз меньше времени спуска.

Ответ: m = [(h² – 1)/(h² + 1)]tga.

22.В момент t = 0 частица массой m начинает двигаться под действием силы , где и w – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

Ответ: t = p/w; s = 2F₀/mw²; u_макс = F₀/mw.

23.На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m лежит тело массой m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как , где – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд действия этой силы.

Ответ: , где – момент времени, с которого начнется движение. При путь s = 0.

24.На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массой m₁ и на ней брусок массой m₂. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F = at, где a – постоянная. Найти зависимость от t ускорений доски а₁ и бруска а₂, если коэффициент трения между доской и бруском равен m. Изобразить примерные графики этих зависимостей.

Ответ: При t £ t₀ ускорения а₁ = а₂ = at/(m₁ + m₂); при t ³ t₀ a₁ = mgm₂/m₁,

a₂ = (at – mm₂g)/m₂. Здесь t₀ = mgm₂(m₁ + m₂)/am₁.

25.На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α = 35 положена доска массой m₂ = 2,0 кг, а на нее – брусок массой m₁ = 1,0 кг. Коэффициент трения между бруском и доской m₁ = 0,10, а между доской и плоскостью – m₂ = 0,20. Определить: а) ускорение бруска a₁; б) ускорение доски a₂; в) коэффициент трения m₂, при котором доска не будет двигаться.

Ответ: а)

б)

в)

26.Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) приращение импульса тела за первые t секунд движения;

б) модуль приращения импульса тела за все время движения.

Ответ: а) ; б) .

27.Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью u₀, разрывается в верхней точке траектории на два осколка, разлетающиеся горизонтально. Один из них полетел в обратном направлении со скоростью, равной скорости снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии s по горизонтали от орудия упадет второй осколок, если верхняя точка траектории отстояла от орудия на расстояние l по горизонтали.

Ответ: s = 4l.

28.Платформа массой m₀ начинает двигаться вправо под действием постоянной силы (см. рис.). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Найти зависимости от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.

Ответ: , .

29.Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы , совпадающей по направлению с ее скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью m кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m₀и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.

Ответ: ; .

30.Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх. Начальная масса ракеты m₀, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразить скорость ракеты u в зависимости от m и t (m – масса ракеты и t – время полета). Поле сил тяжести считать однородным.

Ответ:

31.Тело массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью u₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Ответ: <P> = 0, P(t) = mg(gt – u₀ sin a).

32.Небольшое тело массой m начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости, высота которой h и угол наклона к горизонту a (см.

рис.). Найти модуль момента импульса тела относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через время t после начала движения.   Ответ: = (1/2)mght×sin2a.

33.Уравнение движения материальной точки массой 5 г имеет вид х = 4sin(2pt/8+2) (см). Определить амплитуду колебаний, циклическую частоту, период колебаний, начальную фазу, максимальную скорость, максимальное ускорение, максимальную силу, поддерживающую это движение и полную энергию колеблющейся точки.

Ответ: х_макс. = 4 см; w = p/4 с^-1; Т = 2p/w = 8 с; u_макс = х_макс.w = 3,1 см/с;

а_макс = 2,5 см/с²; F_макс = 1,3×10^–4 Н; Е = 2,5×10^–6 Дж.

34.Тело массой m движется в плоскости xy по закону , где A, B, ω – некоторые постоянные. Определить модуль силы F, действующей на это тело.

Ответ:

35.За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в a = 5,00 раз. Найти: a) коэффициент затухания b; б) за какое время t амплитуда уменьшится в е раз?

Ответ: а) b = 0,100 с^-1; б) t = 10,0 с.

36.Для плоской монохроматической волны смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4,0 см от источника колебаний, через промежуток времени Т/6 равно половине амплитуды. Определить длину волны.

Ответ: l = 0,48 м.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

37.Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью . На задней тележке находится человек массой m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью относительно своей тележки. Масса каждой тележки равна M.Найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после прыжка.

Ответ: , .

38.Платформа с песком общей массой M = 2,0 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8,0 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда u = 450 м/с, а его направление – сверху вниз под углом α = 30° под углом к горизонту.

Ответ: u = mu cosa / (M + m) = 1,6 м/с.

39.Пушка массой М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

Ответ: .

40.На катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью u = 6,0 м/с относительно катера воду с расходом μ = 25 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера u через t = 3,0 мин после начала движения; б) предельно возможную скорость катера u_max.

Ответ: u(t) = следовательно:

а) u = 3,8 м/с; б) u_max = u = 6,0 м/с.

41.Ствол пушки направлен под углом q = 45° к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в h = 50 раз меньше массы пушки, u₀ = 180 м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

Ответ: u = u₀ cosq /(1 + h) = 25 м/c.

42.Шайба массой m соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения равным m.

Ответ: А_тр = mmgl / (1 – m ctga).

43.Тело массой m начинает двигаться под действием силы , где и – орты осей x и y соответственно. Определить мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t.

Ответ:

44.Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3° и за время t = 1 мин развивает скорость u = 18 км/ч. Коэффициент трения m = 0,01. Определить среднюю мощность локомотива .

Ответ:

45.Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением U = 1,0x + 2,0y² + 3,0z³ (U в Дж, координаты в м). Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,0; 1,0; 1,0) в точку с координатами (2,0; 2,0; 2,0).

Ответ: А = –28 Дж.

46.К нижнему концу пружины жесткостью k₁ прикреплена другая пружина жесткостью k₂, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определить отношение их потенциальных энергий.

Ответ:

47.Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где aи b – положительные постоянные, r – расстояние от центра поля. Найти: а) значение r₀, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; в) изобразить примерные графики зависимостей и F_r(r) – проекции силы на радиус-вектор .

Ответ: а) , б) .

48.Материальная точка массой m брошена под углом a к горизонту с начальной скоростью . Траектория полета частицы лежит в плоскости ХY, ось Z направлена «на нас». Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени: а) момента силы, действующей на частицу; б) момента импульса частицы. Оба момента берутся относительно точки бросания.

Ответ: а) , б) .

49.Шарик массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью u₀. а) Найти модуль момента импульса L шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения; б) вычислить L в вершине траектории, если m = 130 г, a = 45° и u₀ = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: а) L = (1/2)mgu₀t²×cosa;

б) L = (mu₀³/2g)sin²acosa = 37 кг×м²/с.

50.Небольшой шарик массой m, привязанный на нити длиной l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности так, что нить вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w. Относительно каких точек момент импульса шарика остается постоянным? Найти модуль приращения момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

Ответ: относительно центра окружности; .

51.Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.

Ответ: , .

52.На однородный сплошной цилиндр массой М и радиусом R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (см. рис.). В момент t = 0система пришла в движение. Пренебрегая трением

в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинети-ческой энергии всей системы.   Ответ: а) , б) .

Тестовые вопросы и качественные

Задачи по механике

1.При каком характере движения частицы имеет место равенство ç< >ô = < >?

2.Тело брошено под углом к горизонту со скоростью . Показать на рисунке среднюю скорость < > и среднее ускорение < > за все время движения. Сопротивление не учитывать.

3.Частица ударяется о стенку и упруго отражается от нее так, что угол падения a равен углу отражения. Найти êD ï,ïD ï_х, ïD ï_y, где – скорость частицы.

4.Зависимость радиус-вектора частицы от времени дается законом , где a и b – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории в параметрической форме x = x (t), y = y (t); б) уравнение траектории в виде y (x); в) скорость и ускорение частицы; г) мо-дули скорости u и ускорения а; д) среднюю скорость частицы á ñ за время от 0 до t; е) в произвольной точке траектории изобразить векторы

5.Частица движется по криволинейной траектории. Имеют ли какой-либо физический смысл (и какой, если имеют) следующие выражения:

a) б) в) г)

д) e) ж) з) ?

6.Модуль скорости u частицы меняется со временем t по закону u = g+ bt, где g и b – положительные постоянные. Модуль ускорения а = 3g. Найти тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны R траектории в зависимости от t.

7.Нормальное ускорение частицы постоянно по модулю. Что можно сказать о форме траектории частицы в случаях, когда проекция тангенциального ускорения на направление движения а) равна нулю; б) положительная; в) отрицательная.

8.Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости. В некоторый момент времени известны угловая скорость вращения ( ) и угловое ускорение ( ) диска. Найти скорость и ускорение произвольной точки А диска, положение которой задается вектором , проведенным из центра диска. Рассмотреть случаи: а) и параллельны; б) и антипараллельны. Ответы проиллюстрировать рисунками.

9.Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени t по закону j = 2p(at – bt³), где a и b – положительные постоянные. Найти среднюю угловую скорость áwñ и среднее угловое ускорение ábñ за все время движения.

10.Шайбу массой m пустили вверх по горке с начальной скоростью . Добравшись до некоторой высоты, она соскальзывает вниз, имея у основания скорость . Найти работу сил трения за все время движения.

11.Частица массой m движется в положительном направлении оси Х. Найти ее момент импульса относительно точки О (начало координат) и точки О¢, имеющей координаты (0; а; 0).

12.Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел: и .

а) Сохраняется ли импульс системы?

б) Сохраняются ли какие либо проекции импульса на декартовые оси координат?

в) Чему равна результирующая всех сил, приложенных к телам?

13.Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R. Скорость частицы и тангенциальное ускорение . Найти момент импульса частицы и момент сил относительно центра окружности О.

14.Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью . Масса диска m, радиус R. Найти его момент импульса и кинетическую энергию относительно точки О, лежащей в плоскости движения на этой горизонтальной поверхности.

15.Тангенциальное ускорение при движении по криволинейной траектории изменяется по закону а_t = as, где a – положительная постоянная. Масса частицы m. Чему равна работа сил А на пути s?

16.Изобразить эквипотенциальные поверхности, а также силу и градиент потенциала U в некоторой точке поля, создаваемого зарядом q.

17.Частица, положение которой относительно начала отсчета дается радиус-вектором (–3, 2, –7) (м), имеет импульс (2, 4, 3) (кг×м/с). Определить: а) момент импульса относительно начала отсчета, б) моменты импульсов относительно осей X, Y, Z.

18.U (x, y, z) = ax² + by² – gz². Определить: а) силу , действующую на частицу; б) работу А, совершаемую силой поля при перемещении частицы из точки 1 (x₁, y₁, z₁) в точку 2 (x₂, y₂, z₂).

19.Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R с a_n = ct². Найти: момент импульса и момент силы относительно центра окружности О.

20.Сплошной цилиндр массой m и радиуса R вращается с угловой скоростью вокруг оси z, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности. Найти импульс цилиндра, момент импульса и кинетическую энергию цилиндра Е_к.

21.Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения тонкого проволочного кольца, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости?

22.Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr², где k – положительная постоянная, r – расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r₁, а скорость на наибольшем расстоянии .