Метод регрессионного анализа

Метод заключается в нахождении такой математической функции, которая обеспечивала бы описание изменения значений материального потока за предшествующие периоды и вычисление по этой функции значение прогноза.

В общем виде уравнение искомой функции может быть записано следующим образом:

N(t)=F(t)±δ

(2.5)

где F_(t) — значение функции в t-й год;

δ — погрешность, показывающая величину отклонения теоретических значений от экспериментальных.

Функция может иметь любой вид: полином, экспонента, логарифм и т.д. Выбор функции, наиболее точно описывающей заданные изменения материального потока осуществляется на основании минимизации значения погрешности δ, которое рассчитывается по формуле:

(2.6)

где N_(t) — значение материального потока в t-й год (фактическое);

n — число наблюдений;

р — число параметров в уравнении тренда (число неизвестных коэффициентов).

Примем для анализа две функции: линейную и полином 2-го порядка:

f(t)=a+bt	(2.7)
f1(t)=a+bt+ct2	(2.8)

где а — начальный уровень тренда;

b — средний абсолютный прирост в единицу времени, константа линейного тренда;

с — квадратичный параметр равный половине ускорения, константа параболического тренда.

Значения коэффициентов a, b, c определены с помощью метода наименьших квадратов.

Продифференцируем каждое уравнение и составим систему нормальных уравнений:

ü для линейного тренда:

(2.9)

ü для параболического тренда:

(2.10)

Для упрощения расчетов используем метод отсчета времени от условного начала. Обозначим в ряду изменения значений времени (t) таким образом, чтобы стала равна нулю.

Представим метод расчета и его результаты в виде таблицы (табл.2.2).

Таблица 2.2

Расчет параметров тренда

-2	36,3		-8		-72,6	145,2	35,76	0,29		10,89
-1	41,4		-1		-41,4	41,4	41,04	0,13	39,66	3,03
	45,2						46,32	1,25	45,4	0,04
	50,6				50,6	50,6	51,6	1,00	50,22	0,14
	58,1				116,2	232,4	56,88	1,49	54,12	15,84
Σ	231,6				52,8	469,6	231,6	4,16	222,4	29,94

Перепишем уравнения с учетом и :

ü для линейного тренда:

(2.11)

ü для параболического тренда:

(2.12)

Отсюда:

ü для линейного тренда:

	(2.13)
	(2.14)

ü для параболического тренда:

(2.15)

Значения а и с найдем, решив систему методом определителей:

	(2.16)
	(2.17)

Рассчитанные значения f(t_i) и f₁(t_i) при t_i=[-2;2], и суммы квадратов разностей теоретических и практических значений приведены в табл.2.2

При t = –2

f(t_-2)=46,32+5,28·(-2)=35,76

f₁(t_-2)=45,4+5,28·(-2)-0,46·4=33

При t = –1

f(t_-1)=46,32+5,28·(-1)=41.04

f₁(t_-1)=45,4+5,28·(-1)-0,46·1=39,66

Для линейного тренда

Для параболического тренда

Так как 1,44<5,47, линейный тренд является боле предпочтительной функцией, т.е. F_(t)=f(t). В этом случае прогноз искомого параметра целесообразно определять по формуле линейного тренда, т.е.

F₍₃₎=46,32+5,28·3=62,16 тыс. т/год

Графики N_(t) и F_(t) приведены на рисунке 2.1.

N(t), F(t)

Графики функций N_(t) и F_(t).

N(t)

F(t)

t

Рис.2.1.

Варианты исходных данных для выполнения индивидуальных заданий приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Изменение величины материального потока по годам

Варианты годы, t
	11,3	17,9	22,1	20,7	21,5	20,9	12,4
	11,9	18,4	25,4	22,5	26,7	23,7	12,8
	17,8	22,3	28,9	34,6	30,9	34,0	17,9
	22,5	36,8	35,4	45,7	37,4	47,7	22,7
	26,7	41,5	50,0	50,1	49,2	49,3	27,8
	31,5	51,3	53,6	53,6	50,5	52,4	31,6
	11,3	17,9	20,9	20,7	21,5	22,1	12,4
	11,9	18,4	23,7	22,5	26,7	25,4	12,8
	17,8	22,3	34,0	34,6	30,9	28,9	17,9
	22,5	36,8	47,7	36,7	37,4	35,4	22,7
	26,7	41,5	50,0	47,8	49,2	49,3	27,8
	31,5	51,3	52,4	50,6	50,5	53,6	31,6
	11,3	17,9	22,1	19,3	21,5	20,9	12,4
	11,9	18,4	25,4	22,6	26,7	23,7	12,8
	17,8	22,3	28,9	27,8	30,9	34,0	17,9
	22,5	36,8	35,4	36,7	37,4	47,7	22,7
	26,7	41,5	49,3	47,8	49,2	50,0	27,8
	31,5	51,3	52,4	50,6	50,5	53,6	31,6
	11,3	17,9	22,1	19,3	21,5	20,9	12,4
	11,9	18,4	25,4	22,6	26,7	23,7	12,8
	17,8	22,3	28,9	27,8	30,9	34,0	17,9
	22,5	36,8	35,4	36,7	37,4	47,7	22,7
	26,7	41,5	49,3	47,8	49,2	50,0	27,8
	31,5	51,3	52,4	50,6	50,5	53,6	31,6
	31,5	51,3	52,4	50,6	50,5	53,6	31,6