Рождение устойчивого предельного цикла, когда существует гомоклиническая траектория, выходящая из седла
Практическое занятие №8
Пример 8. Предположим нелинейная система (6) в квадрате 
совпадает с линейной системой (9) и имеет фазовый портрет, соответствующий седлу(рис.2,в) при 
, а вне этого квадрата имеет фрагмент фазового портрета , так как на рис.
рис.
В этом случае (при некотором 
) существует гомоклиническая траектория Г , выходящая из седла и возвращающаяся в него при 
. тот факт, что для 
при изменении 
, например, в сторону 
происходит бифуркация рождения устойчивого предельного цикла (рис.6,б).Изучен А.А. Андроновым и Е.А. Леонтовичем.
Выше рассматривались частные примеры, которые с помощью уравнений первого порядка объясняют различные случаи изменения фазовых портретов системы двух уравнений при изменении параметра. С другой стороны эти примеры отражают общую ситуацию качественного изменения фазовых картин для любой динамической системы (6), поскольку все главные деформации системы общего вида (со сколь угодно сложными гладкими функциями 
) происходит только так как в приведенных примерах. Говоря "главные деформации" , мы имеем в виду, что если в системе (6) рождается сразу много состояний равновесия или предельных циклов, то малыми изменениями это рождение можно разделить на последовательность элементарных бифуркаций, происходящих по схеме определенной примерами 2, 5-8, т.е. путем поочередного рождения пар состояний равновесия(пример 2 ) и предельных циклов либо через бифуркацию Андронова -Хопфа(пример 5), либо через бифуркацию полуустойчивого цикла(пример 6), либо через бифуркацию гомоклинической траектории седло-узла(пример7), либо седла (пример 8). Других элементарных бифуркаций в диссипативных системах нет. Т.е. эти примеры не являются частными, а системы рассмотренные в них, как отражающие общие бифуркационные свойства называют нормальными формами.
Рассмотрим теперь несколько основополагающих понятий теории динамических систем общего вида.
Первое. Все выше сказанное относится к диссипативным системам(исключая тривиальные случаи линейных систем вида(1)), траектории которых при не уходят в бесконечность , а стремятся к ограниченному множеству, называемому аттрактором. Легко видеть, что таким множеством для системы (6) являются состояния равновесия и предельные циклы.
Второе общее понятие теории динамических систем - это понятие грубости(или структурной устойчивости), введенное А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным и играющее основную роль в современной теории динамических систем. Если при малом изменении параметров в системе (6) или целиком правой части (функций и их производных) вид фазового портрета топологически остается тем же самым, то система называется грубой. Из примеров следует, что качественные изменения фазовых портретов происходят при бифуркациях состояний равновесия(примеры 2,5), предельных циклов (примеры 5-8), и гомоклинических траекторий (примеры 7,8).
Третий вывод состоит в том, что хаоса, то есть явления, когда ререшение системы дифференциальных уравнений (6) ведет себя как случайная функция в системах второго порядка не бывает.
Основные нерешенные проблемы математической теории систем второго порядка:
Например 16-ая проблема Гилберта(ее вторая часть) о числе предельных циклов в зависимости от порядка полиномов в правой части системы (6). По этой проблеме есть продвижения , но проблема остается нерешенной.