Производная существует тогда, когда существует этот предел.

- средняя скорость измене­ния функции на промежутке [x, x+Dx]. Предельный переход при дает скорость изменения функции в самой точке х.

- скорость изменения функции в точке х.

Пример 1. Пусть функция S=S(t) задает закон прямолинейно движущейся точки. Рассмотрим отношение приращения пути DS к промежутку времени (приращение пути DS в течении некоторого промежутка времени ).

средняя.

- средняя скорость движения точки, чтобы найти мгновенную скорость в конкретный момент времени необходимо тогда - скорость движения в данный момент. В этом состоит механический смысл производной .

Пример 2. Пусть функция q(t)=q – задает закон изменения количества электричества.

2. Геометрический смысл производной.

Пусть на кривой L дана точка М0. Возьмем на кривой точку М и будем ее устремлять к Мо вдоль кривой. Тогда по­ложение секущей М0М начнет изменяться.

Определение: Касательной к линии L в точке Мо называется предельное положение, которое стремиться занять секущая, если точка М Мо вдоль L с любой стороны.

Рассмотрим функцию y=f(x).

Возьмем секущую М₀М она образует с осью ОХ угол j из геометрии следует . Устремим , а секущая М₀М устремится к своему предельному положению – касательной . Угол устремится к углу a

Значения производной в данной точке равны тангенсу угла между положительным направлением оси ОХ и касательной.

Например.

Угол 1 - острый, следовательно, tg >0 (M1)>0. В точке М2 касательная параллельна ОХ tg =0; (M2)=0. Угол 3 – тупой, следовательно tg <0 (M3)<0.

3. Дифференцируемость функций.

Определение: Если функция y=f(x) имеет производную в точке х₀, т.е. существует предел то мы говорим, что функция в точке х₀ дифференцируема (или, что равносильно, имеет производную).

Если функция дифференцируема в некоторой точке промежутка [a,b] или интервала (a, b) то говорят, что она дифференцируема на промежутке [a,b] или интервале (a,b).

Теорема. Если функция y=f(x) имеет конечную производную в точке х₀ то функция в точке х₀ – непрерывна.

Доказательство: Т.к. то . Тогда по теореме о пределе, функция имеющая конечный предел будет отличаться от своего предела на б.м. величину приведем к общему знаменателю отсюда следует, что при и , а это означает что функция непрерывна .

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.

Тогда возникает вопрос: всякая ли непрерывная функция имеет производную, а вместе с ней и касательную?

Для этого введем понятие односторонних производных.

4. Односторонние производные.

Определение: - производной в точке х₀ слева.

- производной в точке х₀ справа.

Определение: Функция y=f(x) в х₀ будет иметь производную когда

это же условие является условием существование касательной в точке х₀.

Если - график функции в точке х₀ не будет иметь касательной.

Пример 1. Найти производные

найдем

т.к. в точке х₀=1 производной нет,

касательной нет.

Не существует производная, не существует касательная.

Пример 2: Найти производную . Решение:

Т.к. , то производной в т. х0 нет, и касательной нет, касательная есть только одностороння. Такая точка называется угловой.

5. Бесконечные производные.

Если то это несобственное число так же называется производной. Если то такая производная называется односторонней бесконечной производной.

Что происходит с касательной?

. Пусть обе односторонние производные совпадают по знаку. Касательная перпендикулярна ОХ и тогда

.

Пусть односторонние бесконечные производные разнятся знаками.

касательная и в этом случае перпендикулярная оси ОХ.

Вывод: Не всякая непрерывная функция в точке непрерывности имеет производную. Класс дифференцируемых функций образует подмножество непрерывных функций.

6. Нахождение производных основных элементарных функций.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю. Если. =С, то =0

Доказательство: Найдем приращение функции

Теорема 2: Производная функции , равна .

Доказательство: Пусть х получит приращение Dх, тогда . Для n– целого положительного воспользуемся формулой бинома Ньютона

тогда

Замечание: Эта формула справедлива для любого n.

Теорема 3. Производная функции равна .

Доказательство:

Теорема4. Производная функции равна . Доказать самостоятельно.

Теорема5. Производная равна

Доказательство:

Теорема 6: Производная

Доказательство: аналогично, доказать самостоятельно.

Теорема 7: Производная равна .

Доказательство: Найдем приращение .

Теорема 8. Доказать самостоятельно

Теорема 9. Доказать самостоятельно

Теорема 10. Доказать самостоятельно