Элементы корреляционного анализа

Групповые средние , ,

где х_i и y_j – середины соответствующих интервалов; i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …, m; n_ij – частоты пар (x_i, y_j); ; .

Общие средние , ,

где – объем выборки.

Выборочные дисперсии , .

Выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация .

Коэффициенты регрессии Y по X и X по Y , .

Линейные уравнения регрессии Y по X и X по Y , .

Коэффициент корреляции .

20.1. Распределение 100 образцов материала по процентному содержанию синтетической добавки X (%) и предельному напряжению на разрыв Y (Н/cм²) приведены в следующей таблице:

Y Х

Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти среднее предельное напряжение на разрыв, когда процент синтетической добавки составляет 50%, и сравнить его с групповой средней, вычисленной непосредственно по корреляционной таблице.

20.2. Распределение 100 сосен по диаметру ствола Х (см) и высоте Y (м) приведено в следующей таблице:

Y Х

Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти средний диаметр сосен высотой 35 м.

20.3. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на газ Х и стоимостью акций газовых компаний Y, получены следующие данные: ; ; ; ; m = 40,5. Найти а) уравнения регрессии Y на Х и Х на Y; б) среднюю величину стоимости акции при цене на нефть х = 16,6, используя соответствующее уравнение регрессии.

20.4. Известно, что первоначальная стоимость объекта Х(млн. руб.) и годовая норма отчислений Y (%) связаны уравнениями регрессий: и . Найти средние значения величин Х и Y, а также коэффициент корреляции между этими величинами.

20.5. При исследовании корреляционной зависимости между объемом валовой продукции Y (млн. руб.) и среднесуточной численностью работающих Х (тыс. чел.) для ряда предприятий получено следующее уравнение регрессии Х на Y: . Найти уравнение регрессии Y на Х, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами равен 0,84, а средний объем валовой продукции предприятий составляет 39,8 млн. руб.

20.6. Распределение 100 семей по доходу Х (руб.) на члена семьи и доле расходов на питание Y (%) приведено в следующей таблице:

Y Х	40–50	50–60	60–70	70–80	80–90
100–500
500–900
900–1300
1300–1700
1700–2100

Требуется: 1) найти групповые средние и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю долю расходов на питание при доходе 1300 руб. на члена семьи.

20.7. При исследовании корреляционной зависимости между величинами Х и Y получены следующие данные: ; ; ; ; m = 50. Написать уравнения регрессии Y на Х и Х на Y и построить графики прямых регрессии.

20.8. При исследовании зависимости между средним баллом аттестата Х и успеваемостью первокурсников Y для ряда вузов получено следующее уравнение регрессии Y на Х: . Составить уравнение регрессии Х на Y, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами оказался равным , а средняя успеваемость первокурсников составила 3,5 балла.

20.9. При исследовании корреляционной зависимости между возрастом Х (лет) жителей района и числом Y обращений в поликлинику в месяц получены следующие уравнения регрессий: и . Найти: а) коэффициент корреляции между рассматриваемыми величинами; б) средний возраст и среднее число обращений в поликлинику в месяц жителя района.

ОТВЕТЫ

Элементы комбинаторики

1.1. 10; 1.2. 63; 1.3. 3024; 1.4. 99999; 1.5. 36; 1.6. а) 120, б) 120; 1.7. 1680; 1.8. 5040; 1.9. 2058; 1.10. а) 24310, б) 45; 1.11. 1024000; 1.12. 2520; 1.13. 720; 1.14. 382; 1.15. 125; 1.16. 729; 1.17. 756; 1.18. 300; 1.19. 215760; 1.20. 750.