Пункт 4. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x₀ = a, x₁ , x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; символом будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [x_i-1 , x_i] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: .

S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S_ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой.

Предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается , где функция f(x) называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

.

Свойства определенного интеграла:

1. , если b=a.

2. .

3. .

4.Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .

5.Если и , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то .

6.Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то .

7.Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то .

8.(Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что .

Геометрический смысл определённого интеграла. Если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .