Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые

При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.

Если Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая величина в окрестности точки Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , т.е. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , то Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая функция Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru -го порядка малости.

Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.

Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.

Пусть Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru есть бесконечно малые функции при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , т. е. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

1. Если Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , то при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru быстрее, чем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , поэтому Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая, более высокого порядка малости.

2. Если Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , то при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru быстрее, чем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , поэтому Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая, более высокого порядка малости.

3. Если Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , то Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малые одного порядка малости.

4. Если Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru не существует, то Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – несравнимые бесконечно малые.

Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функций при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Примеры.

1.Сравнить порядок функций Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru бесконечно малые функции одного порядка при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

2. Сравнить порядок функций Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая более высокого порядка.

3. Можно ли сравнить функции Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru ?

Рассмотрим передел Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Этот предел не существует при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru функции Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru являются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.

Определение. Бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru называются эквивалентными при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , если Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru ;

это обозначается так: Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Пример. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , так как Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru ; Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , так как Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Доказательство:

Пусть Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru . Тогда

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , т.е. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru . Ч. и т. д.

Очевидно также, что Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.

Теорема 10 (обратная).Если разность бесконечно малых функций Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru или Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , то Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru и Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – эквивалентные бесконечно малые.

Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство:Докажем теорему для двух функций. Пусть Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , причем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая функция большего порядка малости, чем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , т.е. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Тогда Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример. Найти предел Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Решение:Так как Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , а Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru (так как Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru – бесконечно малая функция более низкого порядка малости чем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru ) при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru (см. теорему 11), то Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Для раскрытия неопределенностей вида Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Известно, что Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru . Приведем еще примеры эквивалентных бесконечно малых функций.

Примеры.

1.Найдем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Следовательно, Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

2.Покажем, что Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Т.е. докажем, что Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru . Действительно,

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru . Ч. и т. д.

Значит, Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

Важнейшие эквивалентности приведены ниже:

при Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru

1. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru 6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru
2. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru 7. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru
3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru
4. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru 9. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru
5. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru 10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru в частности, Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru

Примеры.

1.Найти Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

При Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , тогда

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru

2.Найти Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

При Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , тогда Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru . Получаем Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

3.Найти Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

При Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru , тогда

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые - student2.ru .

ЛЕКЦИЯ 2.3. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Прогнозируемые результаты обучения:

· Базовые понятия:

– приращение аргумента,

– приращение функции,

– производная,

– частная производная,

– касательная,

– скорость и ускорение движения.

· Базовые операции:

– вычисление производной,

– применение понятия производной.

При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, с элементами визуализации, активизирующих познавательную деятельность студентов.

Ориентация на развитие компетенций:

ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;

ПК-1 – способность к анализу и синтезу;

ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;

ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Наши рекомендации