Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые
При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.
Если – бесконечно малая величина в окрестности точки , т.е. , то – бесконечно малая функция -го порядка малости.
Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.
Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.
Пусть и есть бесконечно малые функции при , т. е. и .
1. Если , то при быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.
2. Если , то при быстрее, чем , поэтому – бесконечно малая, более высокого порядка малости.
3. Если , то и – бесконечно малые одного порядка малости.
4. Если не существует, то и – несравнимые бесконечно малые.
Отметим, что таковы же правила сравнения бесконечно малых функций при .
Примеры.
1.Сравнить порядок функций и при .
и бесконечно малые функции одного порядка при .
2. Сравнить порядок функций и при .
– бесконечно малая более высокого порядка.
3. Можно ли сравнить функции и при ?
Рассмотрим передел .
Этот предел не существует при функции и при являются несравнимыми бесконечно малыми функциями.
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.
Определение. Бесконечно малые функции и называются эквивалентными при , если ;
это обозначается так: .
Пример. при , так как ; при , так как .
Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть и при . Тогда
, т.е. . Ч. и т. д.
Очевидно также, что .
Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.
Теорема 10 (обратная).Если разность бесконечно малых функций и есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем или , то и – эквивалентные бесконечно малые.
Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство:Докажем теорему для двух функций. Пусть , при , причем – бесконечно малая функция большего порядка малости, чем , т.е. .
Тогда при .
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример. Найти предел .
Решение:Так как , а (так как – бесконечно малая функция более низкого порядка малости чем ) при (см. теорему 11), то .
Для раскрытия неопределенностей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
Известно, что при , при . Приведем еще примеры эквивалентных бесконечно малых функций.
Примеры.
1.Найдем .
Следовательно, при .
2.Покажем, что при .
Т.е. докажем, что . Действительно,
. Ч. и т. д.
Значит, при .
Важнейшие эквивалентности приведены ниже:
при
1. | 6. |
2. | 7. |
3. | 8. |
4. | 9. |
5. | 10. в частности, |
Примеры.
1.Найти .
При , , тогда
2.Найти .
При , тогда . Получаем .
3.Найти .
При , тогда
.
ЛЕКЦИЯ 2.3. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Прогнозируемые результаты обучения:
· Базовые понятия:
– приращение аргумента,
– приращение функции,
– производная,
– частная производная,
– касательная,
– скорость и ускорение движения.
· Базовые операции:
– вычисление производной,
– применение понятия производной.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, с элементами визуализации, активизирующих познавательную деятельность студентов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.