Для анализа переходного процесса используют основные физические положения о непрерывности потокосцепления в индуктивных элементах и заряда в емкостных элементах

Считается, что энергия не может изменяться скачком, т.е. мгновенно – это касается энергоемких элементов (L и C). На этой основе установлено два закона коммутации.

Математически первый закон коммутации запишется в виде формулы:

y_S (0_-) = y_S (0) = y_S (0₊)

Суммарное потокосцепление индуктивных элементов в цепи не может изменяться скачком в момент коммутации и является непрерывной функцией времени. Непосредственно после коммутации оно равно значению в момент коммутации и значению непосредственно перед коммутацией (предел справа равен пределу слева).

Частный случай: если индуктивные элементы в момент коммутации не меняют свои параметры, то закон коммутации будет справедлив для токов индуктивных элементов, поскольку потокосцепление

y_к(t) = L_к·i_к(t), L_к = const, i_Lк(0_-) = i_Lк(0) = i_Lк(0₊).

Практическая формулировка: если индуктивность не меняется в момент коммутации, то ток в индуктивном элементе не изменяется скачком и в момент коммутации равен току в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Математическая запись второго закона коммутации имеет вид:

q_S (0_-) = q_S (0) = q_S (0₊)

Частный случай: если емкость не меняется в момент коммутации, то закон действителен для емкостного напряжения q_к = C_к·u_к,

C_к = const, u_Cк(0_-) = u_Cк(0) = u_Cк(0₊).

Практическая формулировка: если емкость не меняется в момент коммутации, то напряжение на емкостном элементе не изменяется скачком и в момент коммутации равно напряжению на емкости непосредственно перед коммутацией

Физическое обоснование этих законов обусловлено невозможностью получения бесконечно больших величин. Если, например, ток (потокосцепление) в индуктивности изменится скачком, то скачком должна измениться и энергия индуктивности, что приводит к бесконечно большому напряжению и мощности, поскольку мощность это производная энергии. Аналогично и для емкостного напряжения (заряда),

поскольку .

Начальные и конечные условия

Одной из основных задач в расчетах переходных процессов является определение начальных условий, что делается на основе законов теории цепей. Начальными условиями называются значения электрических величин в начальный момент времени t=0 (в момент коммутации). Начальные условия при переходных процессах разделяют на независимые (связаны с законами коммутации) и зависимые (все остальные). Независимые условия – токи в индуктивных элементах i_L(0) и напряжения на емкостных элементах u_C(0) в момент коммутации (при условии, что L и C – const они не изменяются скачком).

Аналогично для емкости

Значения величин после окончания переходного процесса (t®¥) называются конечными условиями или установившимися значениями. Они могут быть постоянными или периодическими.

При определении начальных и конечных условий удобно пользоваться схемами замещения элементов в различные моменты времени.

Схемы замещения элементов в различные моменты времени

Источники энергии: они представляются соответственно источниками тока и напряжения с учетом их зависимости от времени до и после коммутации.

Резисторы: если они безинерционные, так резисторами и остаются с учетом их изменения во времени. Реактивные: элементы (индуктивности и емкости) имеют специфические схемы замещения.

t Элементы	t=0-	t=0	t=∞
Индуктивность	В зависимости от источника, действующего в цепи: 1) нет источников – неопределенная ситуация; 2) ист. постоянного действия → перемычка (к.з.) 3) источник гармонического действия - сопротивление	При любых источниках есть два варианта: 1) нулевые нач. условия (iL(0-)=0). т.е. нет запаса энергии, то iL(0)=0 →разрыв (х.х.) 2) ненулевые нач. условия iL(0-)≠0 →источник тока	В зависимости от источника
Емкость	В зависимости от источника, действующего в цепи (по принципу дуальности): 1) нет источников – неопределенная ситуация; 2) ист. постоянного действия → разрыв (х.х.) 3) источник гармонического действия → сопротивление	При любых источниках есть два варианта: 1) нулевые нач. условия uC(0-)=0 т.е. нет запаса энергии, то uC(0)=0 → перемычка (к.з.) iC(0)=? 2) Ненулевые нач. условия uC(0-)≠0 → источник напряжения

В общем случае до и после коммутации схемы замещения могут быть разными (до коммутации мог быть один источник подключен, а после другой).

Классический метод анализа переходных процессов

в электрических цепях

Классический метод расчета переходных процессов основан на непосредственном решении системы дифференциальных уравнений, составленных для электрической цепи на основе законов Кирхгофа. В этом случае переходные токи и напряжения ищутся в виде двух составляющих: свободной и установившейся или принужденной

Установившаяся (принужденная) составляющая является частным решением неоднородного уравнения или системы и определяется (устанавливается) действующими источниками (постоянного, переменного или периодического действия). Свободная составляющая соответствует поведению цепи в свободном режиме, без источников и соответствует математически общему решению однородного дифференциального уравнения или системы, и ищется как сумма экспонент:

,

где P_l – (показатели экспонент) корни характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному (они одинаковы для всех величин токов и напряжений цепи и их количество определяется старшей степенью уравнения), а A_кl - множители, определяемые с применением начальных и конечных условий (они разные).

1.2. Переходные процессы в электрических цепях первого порядка.

Анализ процессов в последовательных RL и RC цепях

Рассмотрим подключение источника постоянного напряжения e(t)=E.

RL	RC
1. Определение начальных условий
(первый закон коммутации – источник отключен)	(второй закон коммутации– источник отключен)
2. Уравнения в момент времени (источник постоянный подключен)
3. Используя начальные условия, получаем:
4. Проверка решения
5. Построение графиков – по формулам, изменяя t

Понятие о длительности переходного процесса и постоянной времени

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго. На практике его ограничивают моментом, когда процесс заканчивается на 95% - 99% (остается 5–1%).

Еще используют понятие постоянной времени – это такой промежуток времени, в течение которого свободная (экспоненциальная) составляющая уменьшается по величине в e раз (2,72).

, где p – показатель экспоненты.

Для последовательных RL и RC цепочек постоянная времени равна соответственно: ; .

Чем больше τ, тем медленнее идет переходной процесс и дольше длится. За время 2τ свободная составляющая уменьшится в e²≈7 раз, за 3τ – в e³≈ 20 раз и остается 5%, за 5τ в >100 раз и остается менее 1% от свободной составляющей.Если есть несколько корней уравнения, то берется максимальное τ. Таким образом, за длительность переходного процесса принимают время равное 3-5 τ. Формулы для переходных токов и напряжений можно записывать с использованием τ.

Отключение источника

RL	RC
Получаем ненулевые начальные условия
Конечные условия
Уравнения такие же, только правая часть равна 0
Графики

Если не было скачка при включении какой-то величины, то не будет и при выключении. Если был скачок при включении, то точно такой же, но в обратную сторону будет скачок при выключении. Это следствие из закона сохранения энергии справедливо, если в цепи ничего не меняется.

Определение τ для сложной цепи с одним реактивным элементом и несколькими резисторами

В этом случае постоянную времени ищут, используя следующую формулу: для цепи с емкостным элементом и для цепи с индуктивным элементом, где R_Э – эквивалентное (общее) сопротивление, которое определяют относительно реактивного элемента после срабатывания ключа.

Рассмотрим следующий пример:

В данном случае источник эдс (напряжения) рассматривается как перемычка при подключении источника, а при выключении перемычка получается за счет срабатывания ключа. В обоих случаях

,

Подключение источника гармонического напряжения

e(t)=E_mcos(ωt+Ψ_E)

Дифференциальное и характеристическое уравнения такие же, как и для цепи с источником постоянного напряжения, значит и показатель экспоненты такой же. Будет отличаться принужденная (установившаяся) составляющая: она будет гармонической:

Подставив начальные условия (t=0), получим с учетом i(0)=0 значение множителя A:

Множитель A может получаться разным: от 0 (Ψ_i=π/2) до некоторого максимального значения (Ψ_i=0). Ψ_i= Ψ_Е - φ, а угол Ψ_Е зависит от момента коммутации. Следовательно множитель А получается тоже зависящим на практике от момента коммутации (теоретически от выбранного начала отсчета в косинусоиде).

Рассмотрим график тока, состоящий из двух составляющих –