Многочлени над полем комплексних чисел

Як було встановлено раніше, для кожного многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru існує своє поле розкладу, а саме таке розширення Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru поля Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , в якому многочлен Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru розкладається на добуток лінійних множників. Серед числових полів найбільш важливу властивість має поле Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru усіх комплексних чисел. В полі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru будь-який многочлен розкладається на лінійні множники Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru - алгебраїчно замкнуте (єдине числове поле, що має таку властивість).

Властивість модуля многочлена

Теорема 21. Якщо Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru - многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru можна знайти таке число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru що при Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru виконується нерівність Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Наслідок 1. Многочлен Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru може мати тільки такі корені, модуль яких менший від числа

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (56)

де Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Наслідок 2. При Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru модуль старшого члена многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru більший за модуль суми всіх інших членів цього многочлена.

Теорема 22. Многочлен непарного степеня над полем Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru дійсних чисел має принаймні один дійсний корінь.

Теорема 23. Кожний многочлен степеня Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.315-317.]

Теорема 24. (Основна теорема теорії многочленів). Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

має хоча б один комплексний корінь.

Наслідки з основної теореми теорії многочленів

Теорема 25. Кожний многочлен, степінь якого вищий за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.

Наслідок. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював 1.

Теорема 26. Кожний многочленМногочлени над полем комплексних чисел - student2.ruго степеня над полем комплексних чисел, єдиним способом (з точністю до порядку множників) розкладається на лінійні множники в цьому полі

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (57)

де Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru корені, а Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru старший коефіцієнт многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Теорема 27. Многочлен Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru го степеня має в полі комплексних чисел точно Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru коренів.

Теорема 28. Якщо комплексне число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (59)

то спряжене комплексне число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru також є коренем цього многочлена.

Теорема 29. Якщо комплексне число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є коренем Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru ї кратності Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є коренем многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru тієї ж кратності Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.320-321.]

Теорема 30. Кожний многочлен над полем Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі.

Теорема 31. Кожний многочлен Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru над полем дійсних чисел допускає єдиниий розклад на незвідні множники у цьому полі виду:

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (62).

[Доведення дивись Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. – К.:Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.321-322.]

Розміщення дійсних коренів многочлена

Розглянемо питання, пов‘язане з розміщенням на дійсній осі коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.

Зробимо зауваження щодо комплексних коренів многочленів. Ці зауваження є наслідками раніше з‘ясованих фактів.

1. Усі корені многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru лежать усередині круга з центром у точці Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і радіусом

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru . (63)

Це випливає з наслідку 1 теореми 21. (Лекція 1 модуль 3).

2. Комплексні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.

Теорема 32. Усі дійсні корені рівняння

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

містяться в інтервалі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , де Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru .

Теорема 33 (Ньютона). Число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є верхньою межею додатних коренів многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , якщо при Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru многочлен Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru має додатне значення, а всі його похідні – невід‘ємні значення.

Число дійсних коренів

Число дійсних коренів з урахуванням кратності або дорівнює степеню рівняння, або на парне число менше. Будь-яке рівняння непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.

У багатьох випадках число дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами можна визначити за правилом Декарта. Перш ніж сформулювати це правило, зробимо деякі зауваження.

1. Ми будемо розглядати кількість змін знаків у даній упорядкованій скінченній послідовності дійсних чисел

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (64)

розуміючи під цим кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки.

Наприклад, у послідовності Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є 3 зміни знаків, а в послідовності Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є 0 змін знаків.

Якщо які-небудь з чисел Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru дорівнюють 0, то при підрахунку числа змін знаків їх до уваги не беруть.

Зауважимо, що коли перше й останнє числа Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru даної послідовності мають однакові знаки, то кількість змін знаків у послідовності (64) парна; якщо ж Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru мають протилежні знаки, то кількість змін знаків непарна.

2. Припускатимемо, що розглядуваний многочлен не має кратних коренів, оскільки завжди можна відокремити кратні множники.

Правило Декарта. Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (65)

дорівнює числу змін знаків у послідовності його коефіцієнтів або на парне число менше.

Зауваження.

1. Правило Декарта можна застосувати і для оцінки числа від’ємних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами.

2. Коли наперед відомо, що всі корені даного рівняння Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru дійсні, то правило Декарта дає точну відповідь на питання про число дійсних коренів, а саме: число додатних коренів дорівнює числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru а число від’ємних коренів - числу змін знаків у ряді коефіцієнтів многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru .

У більшості випадків наперед невідомо, чи всі корені рівняння дійсні. В зв’язку з цим правило Декарта, хоч і зручне з точки зору простоти застосування, не дає повної відповіді на питання про число дійсних коренів рівнянь з дійсними коефіцієнтами та їх розподіл між додатною і від’ємною півосями.

Відокремлення коренів методом Штурма

Далі перейдемо до питання скільки дійсних коренів рівняння з дійсними коефіцієнтами лежить у довільному, наперед заданому інтервалі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru дійсної осі.

Повну відповідь на це питання дає метод Штурма.

Нехай Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru - деякий многочлен з дійсними коефіцієнтами, Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Припустимо, що Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru не має кратних коренів.

Знайдемо похідну Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і побудуємо для Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru та Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru алгоритм, подібний до алгоритму Евкліда; відмінність полягатиме в тому, що всі остачі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru ми братимемо з протилежними знаками, тобто Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Позначимо Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Таким чином, одержимо:

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (66)

де Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru так як Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru взаємно прості (за припущенням, Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru не має кратних коренів) і тому Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Послідовність многочленів

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (67)

називається рядом функцій Штурма, або просто рядом Штурма.

У методі Штурма нас цікавитимуть не самі функції ряду Штурма або їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій. У зв’язку з цим функції ряду (67) можна знаходити з точністю до сталого додатного множника, тобто, виконуючи ділення з остачею, домножати на сталі множники; ці множники обов’язково повинні бути додатні, щоб не змінювались знаки значень многочленів.

Введемо поняття числа змін знаків у ряді Штурма. Візьмемо в ряді функцій (67) Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru де Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru - якесь дійсне число. Тоді скінченна послідовність функцій (67) перетворюється в послідовність чисел Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Число змін знаків у цій послідовності позначатимемо через Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і називатимемо його числом змін знаків у ряді Штурма в точці Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru .

Основні властивості ряду функцій Штурма

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (67) не мають спільних коренів.

Лема 2. Якщо Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Лема 3. ЯкщоМногочлени над полем комплексних чисел - student2.ru, зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.

Лема 4. Якщо Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ruзростаючи, проходить через корінь многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.

[Доведення самостійно. Див. Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел, ч.2. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с. – стор.332-333.]

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Теорема 34 (Штурма). Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Якщо Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru i Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru довільні дійсні числа, які не є коренями многочленна Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , то число Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru дійсних коренів многочленна Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru в інтервалі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru дорівнює Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , де Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru i Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru .

Зауваження 1. Теорема Штурма справедлива і для випадку, коли кінці інтервалу можуть бути коренями многочлена. Тільки тоді Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru є число коренів не на інтервалі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , а на півінтервалі Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (або на відрізку Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru .

Зауваження 2. Якщо якась з проміжних функцій ряду Штурма Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru не має дійсних коренів, то можна наступних функцій Штурма не знаходити і користуватися в теоремі Штурма «укороченим» рядом

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru

Дійсно, число змін знаків у «залишковому» ряді Штурма

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (68)

є сталими при будь-якому Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru . Адже Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru може пройти лише через корінь проміжної функції ряду (68), що, за лемою 3, не впливає на число змін знаків у цьому ряді. Отже, «залишковий ряд» (68) не впливає на різницю Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru .

Зауваження 3. Якщо Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru має кратні корені, то остання функція ряду Штурма Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru вже не є сталою. Але тоді Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru і можна розглянути ряд многочленів

Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (69)

який вже має всі властивості, зазначені в лемах 1-4.Через те що число змін знаків у ряді (69) збігається з числом змін знаків у звичайному ряді Штурма Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru то теорема Штурма залишається в силі. Слід лише урахувати, що вона дає в цьому випадку число дійсних коренів не самого многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru , а многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru (в якому вже немає кратних коренів), тобто число різних коренів многочлена Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru в Многочлени над полем комплексних чисел - student2.ru без урахування їх кратності.

Наши рекомендации