Исследовать сходимость ряда № 1 - 13

№1. . №2. . №3. . №4. .

№5. . №6.. №7. . №8. .

№9. . №10. . №11. .

№12. . №13. .

Определение: Знакопостоянный числовой ряд-это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо отрицательные числа.

№	Название	Формулировка	Примечание
	Признак Д’Аламбера	Если у знакоположительного ряда существует и конечен , то, если , ряд сходится; если ,то ряд расходится. Замечание: Если , то ряд расходится	1.Применяется, если общий член ряда содержит слагаемым или множителем или , или их вариации 2. Если , вопрос о сходимости ряда остается открытым
	Радикальный признак Коши	Если у знакоположительного ряда существует и конечен , если , ряд сходится; если ,то ряд расходится	1. Применяется, если общий член ряда целиком является n – ой ( или n+1 – ой, 2n –ой…) степенью некоторого выражения 2. Если l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым
	Интегральный признак Коши	Если функция - непрерывная, положительная, убывающая при и , то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.	1. Применяется, когда общий член порождает функцию , первообразная которой находится без особого труда

Примерный план исследования знакоположительного ряда:

1. Определить вид ряда.

2. Находят (если это не трудно) :

а) если , то ряд расходится

б) если , то продолжаем исследование.

3. Устанавливаем путем анализа формулы общего члена какой из признаков целесообразнее применить, перебирая признаки в следующем порядке:

а) признак Д’Аламбера

б) радикальный признак Коши

в) интегральный признак Коши

г) признаки сравнения

4. Исследуем сходимость ряда по данному признаку

Степень роста выражений при

1.

2.

3. ,

4. ,

5. ,

Исследовать на сходимость №№ 14 – 18.

№14. . №15. . №16. . №17. .

№18. . №19. №20. №21.

Знакопеременные ряды

Знакопеременные ряды – это числовые ряды, содержащие бесчисленное множество положительных и бесчисленное множество отрицательных членов

Определение: Знакопеременный ряд, у которого положительные и отрицательные члены ряда следуют строго друг за другом называется знакочередующимся

Теорема (Признак Лейбница)

Если абсолютные величины членов знакочередующегосяряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит первого члена ряда.

Ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, называется рядом Лейбница или лейбницевским рядом. Он всегда сходится

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

№22. . №23. . №24. . №25. . №26. . №27. . №28.

Степенные ряды

Определение: Ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента, называется функциональным.

Ряд, записанный в виде

называется степенным

План нахождение области сходимости:

1) Найдем радиус сходимости по одной из формул или

2) Запишем интервал сходимости (-R: R),

3) Дополнительно исследуем сходимость заданного ряда в точках x =

4) Записываем область сходимости исходного ряда.

Замечание:

Если исследуем ряд, расположенных по степеням (x – x₀), где x₀ ≠ 0, общий вид которого

то

выполним замену x – x₀ = X, получим (1)и найдем область сходимости полученного ряда по плану, затем заменив X, найдем область сходимости исходного ряда

Найти область сходимости степенных рядов:

№29. . №30. . №31. .

№32. . №33. . №34. .

№35. . №36. . №37. .

№38. . №39. .

Разложить в ряд по степеням :

№40. №41. . №42. .

№43. .№44. . №45. .

№46. . №47. .№44. .

№45. . №46. . №47. .

Вопросы по теме «Ряды»

1.Основные понятия о числовых рядах. Свойства числовых рядов.