Индексы цен в модели межотраслевого баланса

Лекция №6

Предположим, что по отношению к межотраслевому балансу (см. табл.1) в будущем году прогнозируется изменение цен в каждой отрасли j и pj раз по отношению к текущему году при тех же натуральных значениях векторов X и Y. Величины pj называются индексами изменения цен.

Таблица 1 - таблица межотраслевого баланса производства и распределения продукции, работ и услуг

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Тогда в таблицу МОБ можно ввести индексы цен и получить новую таблицу (табл. 2), по которой можно построить модель равновесных цен.

Таблица 2 - Межотраслевой баланс с учетом индекса цен

Отрасли Промежуточное потребление Конечный продукт Валовый продукт
1 2 … n
  N p1X11 2X1n p2X21 2X2n … PnXn1 … pnXnn p1Y1 p2Y2 … pnYn p1X1 p2X2 … pnXn
Добавленная стоимость p1Z1 … pnZn  
Валовый продукт p1X1 … pnXn      

В этой таблице также выполняются балансовые соотношения:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (1)

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (2)

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

где Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru -новые значения добавленной стоимости.

Разделив соотношения (1) и (2) на Xj, получим уравнения для вектора индексов цен (модель разновесных цен):

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (3)

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , (4)

где

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru .

Формулы (3) и (4) называются моделью равновесных цен.

Модель равновесных цен позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей при известных значениях величин норм добавленной стоимости. Кроме того, модель равновесных цен позволяет прогнозировать изменение цен инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отрасли.

Замечание: В модели равновесных цен неявно предполагается, что в регионе есть все отрасли производства и поэтому межотраслевые связи региона определяют всю систему отраслевых индексов.

Поскольку межотраслевой баланс разрабатывается в ценностном выражении, то параметры aij и dj рассчитываются на 1 руб продукции отрасли. В этом случае pj – это не цены на единицы физических выпусков, а индексы изменения тех цен (условных единиц), по которым разрабатывается межотраслевой баланс. В исходном межотраслевом балансе все величины pj равны единице и полные затраты добавленной стоимости модели (3,4) также равны единице по каждой отрасли.

В матричном виде уравнения (3,4) запишутся как

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (5)

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (6)

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

где Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru вектор-строка индексов цен; Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru вектор-строка долей добавленной стоимости в валовом выпуске отраслей в новом варианте межотраслевого баланса.

Соотношения (5,6) эквивалентны условию равенства целевых функций прямой и двойственной задач линейного программирования.

При выполнении первого соотношения (5) второе выполняется тождественно. Действительно, из (5) получаем соотношение:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (7)

Подставляя его во второе соотношение (6), получим

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (8)

Таким образом, для определения вектора индексов цен достаточно решить систему уравнений (7), откуда получаем

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (9)

или

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru (10)

где T-символ транспонирования, векторы p и d являются строками, а векторы pT и dT являются столбцами.

Если матрица A продуктивна, то уравнения (9) и (10) имеют положительное решение p>0, если d>0.

Обозначим через

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Из табл. 2 следует, что модель Леонтьева будет иметь вид:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , (11)

где

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru .

Таким образом, коэффициенты прямых затрат нового межотраслевого баланса выражаются через старые коэффициенты и индексы цен следующим образом:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru . (12)

Методика работы с моделью цен в регионе в большой степени определяются возможностями региона влиять на ценообразование.

Большинство цен формируется на внутрирегиональном, а на межрегиональном, национальном и мировом рынках. Изменение таких «внешних» цен оказывают существенное влияние на величины добавленной стоимости почти во всех отраслях экономики региона.

При этом в большинстве регионов сохраняется также некоторое множество товаров и услуг (в частности, нетранспортабельных или малотранспортабельных), цены на которые формируются в регионе. При регулировании этих цен необходимо знать последствия для величин добавленной стоимости во всех отраслях, а также для других «региональных» цен.

Таким образом, модель цен в регионе имеет смысл использовать только при смешанном составе неизвестных pj и rj.

По отношению к уравнениям (5,6) могут быть поставлены и решены три задачи:

а) при заданном векторе d найти вектор p;

б) при заданном векторе p найти d;

в) при заданной части переменных векторов p и найти остальные переменные.

Пример:

В условном регионе имеются три отрасли. В третьей отрасли уровень цен может регулироваться. Другие две отрасли этого региона, будучи сильно вовлечены в межрегиональный и международный обмен, имеют экзогенные цены. Известна также матрица коэффициентов прямых материальных затрат:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Определите индекс изменения цен в третьей отрасли региона и доли добавленных стоимостей в валовом выпуске первых двух отраслей.

Решение:

Система уравнений равновесных цен примет вид:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Принимая цены p1 и p2 «внешними», а цену p3-«внутренней», т.е. регулируемой в регионе, приходим к следующей задаче:

Экзогенные (задаваемые или известные) величины-p1, p2, d3.

Искомые величины (неизвестные) - p3, d1, d2,

Первый вариант. Пусть Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru . Тогда

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Из 3-го уравнения системы находим Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru . Подставляем p3=1 в 1-е и 2-е уравнения:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Таким образом, p1, p2, d3 равны фактическим значениям из исходного межотраслевого баланса.

Второй вариант. Допустим, что «внешние» цены увеличились на 30%, а коэффициент добавленной стоимости в третью отрасль не изменился.

Получаем систему уравнений

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Таким образом, значение p3 увеличивается на 9,5 %, в большей степени увеличиваются коэффициенты добавленной стоимости d1 и d2.

Проанализируем влияние изолированного регулирования величин p1 и d3. Принимается, что остальные экзогенные переменные фиксируются на исходном уровне.

Влияние увеличения p1: ( Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru )

  р1=1,0 р1=1,5 р1=2,0 р1=2,5
р3 d1 d2 1,0 0,5 0,4 1,053 0,962 0,264 1,105 1,424 0,129 1,211 2,347 -0,142

При увеличении р1 естественно быстро увеличивается d1, медленно растет р3 и монотонно снижается d2. При р1=3 валовая добавленная стоимость в отрасли «Готовая продукция» отрицательна, что означает финансовую невозможность функционирования производства. Из уравнения для d2 можно получить условие неотрицательности d2 относительно р1.

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Откуда Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , если Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Влияние увеличения d3:

  d3=0,65 d3=0,80 d3=1,00 d3=1,20
p3 r1 r2 1,0 0,5 0,4 1,158 0,461 0,368 1,368 0,408 0,326 1,579 0,355 0,205

При увеличении d3 естественно растет цена p3 и умеренно снижаются коэффициенты добавленной стоимости (d1может стать отрицательной при фантастическом значении d3= 2,55). Это говорит о финансовой устойчивости первых двух отраслей по отношению к финансовой и ценовой политике в третьей отрасли. Однако из этого не следует, что третья отрасль может беспрепятственно повышать свои доходы. Препятствием для такой политики является внутренний спрос, падающий при увеличении цены.

Модель международной торговли (модель обмена)

Рассмотрим n стран-участниц торговли с государственным бюджетами Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru . Будем считать, что весь бюджет каждой страны тратится на закупку товаров либо внутри страны либо на импорт из других стран.

Пусть aij-часть бюджета, которую страна j тратит на закупку товаров страны i. Тогда можно ввести структурную матрицу торговли с неотрицательными элементами A=(aij), сумма элементов каждого столбца которой равна единице. После подведения итогов торговли за год страны i получит выручку Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru .

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитной торговли для каждой страны, т.е. выполнения условия Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru для всех i. Условием бездефицитной торговли являются равенства pi=Xi для всех i. В матричном виде это условие запишется как Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , где Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru . Из этого условия следует, что вектор бюджетов X является собственным вектором структурной матрицы торговли A, а соответствующее ему собственное значение равно 1. Это собственное значение матрицы является числом Фробениуса, т.е. максимальным собственным значением. Сбалансировать торговли стран-участниц может быть достигнута только в том случае, когда бюджеты их стран находятся в отношении, в котором находятся компоненты собственного вектора матрицы торговли.

По теореме Фробениуса-Перрона уравнение Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru всегда имеет ненулевое неотрицательное решение. Поскольку бюджет любой страны неотрицателен Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , то интерес представляют только положительные решения Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru данного уравнения. В случае Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru существование положительного решения следует из теоремы Фробениуса-Перрона. В то же время, если какая-то страна j не импортирует товары из страны i, то матрица A не является положительной. Существует ли в этом случае положительное решение уравнения Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru ? Для ответа на этот вопрос вводится понятие цепочки импорта.

Говорят, что страны i и j связаны цепочкой импорта от i к j, если существует цепочка стран с началом в стране i и концом в стране j, в которой каждая последующая страна импортирует товары из предыдущей страны.

Имеет место теорема о цепочке: если в модели международной торговли структурная матрица A такова, что любые 2 страны i и j можно связать цепочкой импорта от i к j, то уравнение Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru имеет положительное решение Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , единственное с точностью до умножения на число. Заметим, что если A-неотрицательная матрица порядка n*n, то для установления возможности соединения любых i и j цепочкой чисел, в которой любые 2 соседних числа k и l таковы, что Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru , достаточно построить замкнутую цепочку, содержащую (возможно с повторениями) все натуральные числа от 1 до n.

Например, для матрицы:

Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru

Имеется замкнутая цепочка (1-4-3-2-1); любые 2 натуральных числа i и j Индексы цен в модели межотраслевого баланса - student2.ru можно соединить цепочкой от i к jб используя участки цепочки (1-4-3-2-1).

Контрольные вопросы:

1) Как определяется вектор индексов цен в МОБ?

2) Какие задачи решаются с помощью модели межотраслевого баланса?

3) Охарактеризуйте цены равновесия межрегионального обмена, принцип их определения и применения.

4) Каково соотношение состояний оптимума и равновесия в многорегиональной системе?

Наши рекомендации