Обратная матрица

Определение 10.8. Квадратная матрица называется обратной для квадратной матрицы , если

. (10.5)

Если для квадратной матрицы существует обратная, то обе эти матрицы имеют одинаковый порядок.Матрицу, обратную матрице , впредь будем обозначать .

Теорема 10.3 (существования и единственности). Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда невырождена, т.е. . В случае существования обратная матрица определяется единственным образом:

, (10.6)

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

Таким образом, чтобы для квадратной матрицы найти обратную, следует составить матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы , транспонировать ее и все элементы разделить на .

Пример 10.23.Пусть – квадратная матрица, – некоторое натуральное число, , но . Доказать, что

.

∆ Введем обозначения , и найдем произведение . Учитывая, что все натуральные степени квадратной матрицы перестановочны между собой, а также, что единичная матрица перестановочна с любой, получаем:

Таким образом, матрицы и удовлетворяют определению 10.8. Значит, – обратная к . В силу единственности обратной матрицы , что и требовалось доказать. ▲

Пример 10.24.Найти матрицу, обратную к невырожденной матрице второго порядка .

∆ Находим алгебраические дополнения . Вспомните, что первый индекс обозначает номер вычеркиваемой строки, а второй – номер вычеркиваемого столбца. Таким образом:

, ,

, .

Составляем обратную матрицу, следуя формуле (10.6):

.▲

Из полученного результата получаем следующее

правило построения обратной матрицы второго порядка:элементы на главной диагонали меняем местами, у остальных меняем знак, и все элементы делим на определитель.

Пример 10.25.Проверить, имеет ли матрица обратную и, если имеет, то найти ее:

.

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников: . Матрица невырождена, значит, обратная к ней существует. Находим алгебраические дополнения:

, , ,

, , ,

, , .

Составляем обратную матрицу:

.

Конечно, вы должны научиться для матрицы третьего порядка устно считать алгебраические дополнения, а не расписывать так подробно. Для проверки правильности вычислений можно, например, найти произведение :

.

Так как оно равно единичной матрице, то обратная найдена верно. ▲

Свойства обратных матриц.Если и – невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка и , то справедливы следующие равенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

Пример 10.26.Известно, что . Найти следующие матрицы: а) ; б) ; в) .

∆ Используем свойства обратной матрицы и правило построения обратной матрицы второго порядка.

а) Так как , то .

б) .

в) Согласно свойствам обратной матрицы

. ▲

Определение 10.9.Матричными уравнениями называются уравнения вида , , , где , и – заданные матрицы, – искомая.

Матрица называется решением матричного уравнения, если при подстановке в него она обращает уравнение в верное равенство.

Пример 10.27.Решить следующие матричные уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

∆ а) В буквенных обозначениях уравнение имеет вид: . Единственная матрица, которая может удовлетворять этому уравнению, это . Так как , то существует. Итак, (для матрицы второго порядка обратную находим по известному правилу).

б) Это уравнение имеет вид , где , , . Так как , , то обе эти матрицы невырождены, а значит, имеют обратные:

, .

Если все уравнение умножим слева на (слева – это значит левый сомножитель), а справа – на , получим:

.

в) Уравнение имеет вид , причем . Если уравнение имеет решение, то – квадратная матрица второго порядка, причем . Получили противоречие. Это значит, уравнение решения не имеет.

г) Уравнение имеет вид: . Так как , то противоречия нет, но решать уравнение с помощью обратной матрицы нельзя. Если решение существует, то – квадратная матрица второго порядка. Пусть . Заданное уравнение приводит нас к системе

,

которая, очевидно, решения не имеет. Поэтому и матричное уравнение решения не имеет.

д) Уравнение имеет вид: . Найдем по правилу треугольников:

.

Значит, матрица имеет обратную. Умножая обе части уравнения слева на , получаем . Переходим к вычислениям:

,

.

е) Уравнение имеет вид: ,

,

значит, существует

Умножая все уравнение справа на , получаем:

.▲