Тема 2.2. Дифференциальное исчисление

Понятие производной функции и ее геометрический смысл.

Производные обратной и сложной функции.

Правила и формулы дифференцирования.

Приложения производной функции.

Пункт 1. Понятие производной функции и ее геометрический смысл.

Пусть функция определена на промежутке . Точка - произвольная точка из области определения функции, - приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной .

Производной функции по независимой переменной в точке , называется предел отношения приращения функции к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Обозначение:

Дифференцирование - операция нахождения производной.

Чтобы вычислить производную функции в точке х_о, нужно в общее выражение производной вместо независимой переменной х подставить числовое значение

х = х_о, т.е. вычислит значение f’(x_o). Таким образом, производная в данной точке х_о есть число.

Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Рассмотрим приращение функции в этой точке: . Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно записать в виде , где - приращение независимой переменной,

А – постоянная, не зависящая от , - бесконечно малая функция при .

Дифференциалом функции в точке называется линейная по часть приращения . Дифференциал обозначается , то есть .

Другими словами, дифференциал функции выражается формулой .

Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной: . Аналогично определяют производную любого порядка: .

Пункт 2. Производные обратной и сложной функций.

Пусть - функция, дифференцируемая в точке , - функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле .

Обычно называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .

Пункт 3. Правила и формулы дифференцирования.

Правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0,

2) (cu) ' = cu';

3) (u+v)' = u'+v';

4) (uv)' = u'v+v'u;

5) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

Формулы дифференцирования

1. (uⁿ)' = n u^n-1 u'

2. (a^u)' = a^u lna u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Примеры:

Вычислите производную функции.

1. .

2.

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

8.

9.

10.

.

Вычислите производную сложной функции.

11. , где .

12. , где .

13. , где .

14. , где .

15. , где .

16. , где .

17.

18.

19.

20.

Вычислить вторую производную функции.

21.

22.

23.

.

Вычислить дифференциал функции.

24. ; .

25.

26. ;