Метод Ньютона (касательных)

В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной.

Формула итераций этого метода имеет вид:

Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения , а затем использовать это значение на каждой последующей итерации:

При таком выборе в точке выполнено равенство:

и если отрезок, на котором предполагается наличие корня и выбрано начальное приближение , достаточно мал, а производная непрерывна, то значение будет не сильно отличаться от и, следовательно, график пройдёт почти горизонтально, пересекая прямую , что в свою очередь обеспечит быструю сходимость последовательности точек приближений к корню.

Этот метод можно также рассматривать, как модернизацию метода хорд (секущих), где число следует выбрать равным

Пример метода Ньютона(касательных) на рисунке 13.

Рис. 13. Метод Ньютона (касательных).

Метод простых итераций

Для того, чтобы решить уравнение , пользуясь методом простой итерации, необходимо привести его к виду , где – сжимающее отображение. Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации выполнялось . Будем искать решение данного уравнения в виде , тогда:

Воспользуемся тем, что , и получим окончательную формулу для :

С учётом этого сжимающая функция примет вид:

Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

Пример метода МПИ на рисунке 13.

Метод секущих

Метод Ньютона имеет множество усовершенствований и модификаций, при этом принято считать, что наиболее эффективной модификацией является метод секущих, дающий существенное ускорение сходимости приближенной последовательностей корней к точному корню по сравнению с самим методом Ньютона.

Рис.13. Метод МПИ.

При достаточно малым можно считать что выполнено приближенное равенство в точке

Подставляя данное в приближенное равенство в формулу метода Ньютона получим:

Из данного соотношения, имеющего трудность применения на практике связано с тем что есть как в левой так и в правой части, можно получить:

,

Данная формула дает метод секущих который отличается от предыдущих методов, тем что для подсчета приближенного значения корня нужно, знать ни одно приближение предыдущего значения, а целых 2 предыдущих значения, т.е. для вычисления требуется знание и . Такие методы называют двухшаговые, предыдущие методы хорд и касательных были одношаговыми. Применение полученной формулы на первом шаге невозможно, поэтому недостающее приближение на старте метода можно рассчитать методом Ньютона и лишь после этого можно применить метод секущих.

Пример метода секущих на рисунке 14.

Рис. 14. Метод секущих.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив основные функции MathCad, можно сделать вывод, что данная программа выполняет множество функции и ориентирована на людей различных профессий.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

- ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц);

- проведение математических расчетов;

- подготовка графиков с результатами расчетов;

- ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

- подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

- подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

- получение различной справочной информации из области математики.

Для решения этих и других задач достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Применение MathCad не только сократит время решения, но и поможет сравнить результаты различных методов. Благодаря этому наглядно будет видна погрешность, что позволит сравнить методы и выбрать оптимальный. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с Mathcad.

В процессе исследования нами были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений и разработаны алгоритмы их решения в программе MathCad. Таким образом, задачи, которые мы ставили в своем исследовании, были решены.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. http://www.psn.izido.ru. Уроки «Основы работы в MathCad».

2. Работа в MathCAD. Пискунов В. В.:

http:// www.elib.ispu.ru/library/lessons/pekunov/index.html

3. Он-лайн самоучитель по MathCAD 14: http://www.computerbooks.ru/books/Mathematic/Book.MathCAD12/Menu.html

4. Учебник по MathCAD 14. Кирьянов В. Д.:

http:// www.maxp.kuzstu.ru/files/informatika/mathcad2001/INDEX.HTM

5. MathCAD Help. Файл

http://www.bookz.ru/authors/avtor-neizvesten-3/mathcadhelp.html

6. Учебник «Простейшие вычисления с помощью пакета MathCAD». http://www.bookz.ru/authors/avtor-neizvesten-3/mathcadprost.html

7. Официальный сайт РТС, производителя Mathcad: http://www.pts-russia.com/products/mathcad.htm

8. Библиотека ресурсов по системе MathCAD. Книги, электронные книги MathCAD, файлы MathCAD, галереи графики и анимаций, головоломки (сайт на английском языке): http://www.mathcad.com/library/

9. Образовательный математический сайт: http://www.exponenta.ru/

10. Учебно-методический комплекс "Численные методы с системой MathCAD для изучения алгоритмов решения математических задач с использованием системы MathCAD".

http:// www.petrsu.karelia.ru/psu/Deps/IMO/Complex/