Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис

 
  Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис. 11), що дуга кривої Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru замінюється дотичною до цієї кривої (звідси і друга назва: метод дотичних).

Припустимо, що відділенням коренів знайдено початкове наближення х0 до кореню. В точці х0 розраховують ліву частину розв’язуваного рівняння Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru , а також похідну в цій точці Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru Наступне наближення до кореню знайдемо в точці х1, де дотична до функції Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru , що проведена із точки Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru , перетинає вісь абсцис. Отриману точку х1 приймають за начальну і продовжують далі ітераційний процес. З рис. 11 видно, що таким способом можна наближатися до кореню х*. При цьому з кожною ітерацією відстань між черговим xn+1 і попереднім xn наближеннями до кореню буде зменшуватися. Процес уточнення кореню закінчується, коли виконується умова

Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

де ε – допустима похибка визначення кореню.

З геометричних співвідношень (див. рис. 11) отримують основну формулу методу Ньютона

Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

У загальному вигляді для n-го кроку ітераційного процесу це співвідношення запишеться наступним чином

Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

Отже, на кожному кроці ітерації відбувається заміна графіка функції Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru дотичною до нього.

Методу Ньютона притаманна висока швидкість збіжності ітераційного процесу (достатньо 5 – 6 ітерацій для досягнення абсолютної точності рішення 10–5 – 10–6.

Недоліком методу Ньютона є необхідність розрахунку на кожній ітерації не тільки лівої частини рівняння, але й її похідної.

Можна, дещо знизивши швидкість збіжності, обмежитися розрахунком похідної Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru тільки на першій ітерації, а потім обчислювати лише значення Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru , не змінюючи похідну Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru . Цей алгоритм називають модифікованим методом Ньютона

Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

 
  Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

Геометричний зміст модифікованого методу Ньютона продемонстровано на рис. 12.

Метод Ньютона можна застосовувати для уточнення коренів в області комплексних значень х, що необхідно при розв’язанні багатьох прикладних задач.

Метод січних

У методі Ньютона треба розраховувати похідну функції, що не завжди зручно. Якщо ітерації xn і xn+1 розташовані достатньо близько одна до одної, то похідну Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru в алгоритмі Ньютона можна замінити її наближеним значенням у вигляді відношення приросту функції Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru і приросту аргументу Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru . Отже, можна записати формулу методу січних

Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

Для того щоб почати ітераційний процес, необхідно задати два початкових наближення х0 і х1. Потім кожне нове наближення до кореню отримують за вище написаною формулою. Процес уточнення кореню закінчується при виконанні умови

Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

де ε – задана абсолютна похибка визначення кореню.

Ітераційні процеси, в яких для розрахунку чергового наближення потрібно знати два попередніх, називають двокроковими. Ця, нібито, невелика зміна в алгоритмі сильно впливає на характер ітерацій, тому метод січних дещо уступає методу Ньютона в швидкості збіжності, але він не вимагає обчислення похідної лівої частини рівняння.

 
  Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

Зазначимо, що геометричний зміст змін, внесених до алгоритму Ньютона, полягає в тому, що від апроксимації функції Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru дотичною зроблено перехід до січної (рис. 13).

За алгоритмом метод січних близький до алгоритму методу хорд, але на відміну від методу хорд початкові наближення в методі січних можуть розташовуватися як з різних боків від кореню, так і з одного боку; крім того, при уточненні кореню не повторюються знаки функції Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru .

Метод простих ітерацій

Замінимо рівняння Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru рівносильним рівнянням Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru . Цього можна досягти багатьма способами, наприклад, поклавши Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru де Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru – довільна неперервна знакопостійна функція.

Нехай ξ – корінь цього рівняння, а х0 – отримане якимось способом нульове наближення до кореню ξ. Підставимо х0 в праву частину записаного вище рівняння, отримаємо деяке число Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru Виконаємо те ж саме з х1, отримаємо Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru і т. д. Застосовуючи крок за кроком співвідношення Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru для n = 1, 2, …, утворюємо числову послідовність х0, х1, …, хn, яку називають послідовністю наближень або ітераційною послідовністю.

 
  Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru

Процес побудови ітераційної послідовності має просту геометричну інтерпретацію (рис. 14).

Якщо ітераційна послідовність збігається, а функція Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис - student2.ru неперервна, то ліміт послідовності є шуканим коренем рівняння.

Наши рекомендации