Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты волны.

Связь между вектором и полным потоком Ф через произвольную поверхность S очевидна

. (48)

Стоячие волны. Опыт показывает, что при одновременном прохождении в среде нескольких волн колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. В этом состоит принцип суперпозиции (наложения) волн. Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны x₁ и x₂ с одинаковыми частотами и амплитудами распространяются в противоположных направлениях оси х:

; ;

где для простоты начальные фазы выбраны равными нулю. Суперпозиция этих волн дает

, (49)

-это и есть уравнение стоячей волны. Если рассматривать |2аcoskx| как амплитуду, то выражение (49) представляет собой колебание с частотой w и амплитудой, зависящей от координаты (рис.13). Такое явление называется стоячая волна (в отличие от ранее рассмотренных – бегущих волн). В точках, где 1 находятся максимумы, которые для стоячей волны называются пучностями; а при =0 – узлы. Период функции p, поэтому интервал между соседними узлами или пучностями равен половине длины волны l/2. Между двумя соседними узлами все точки колеблются синхфазно, но при переходе через узел фаза меняется на p, поэтому колебания по разные стороны от узла происходят в противофазе. Таким образом, узлы делят среду на независимые области длиной l/2, в которых происходят независимые и никуда не распространяющиеся колебания. Никакой передачи энергии через узлы не происходит,Þ нет распространения возмущения вдоль оси х. Стоячие волны в большей степени являются колебаниями, чем собственно волнами.

Продифференцировав (49) по времени, найдем скорость частиц среды , а продифференцировав по координате – относительную деформацию :

; . (50)

Следовательно, скорость и деформация тоже являются стоячими волнами, сдвинутыми относительно друг друга по фазе на как в пространстве, так и во времени. Поскольку кинетическая энергия ведет себя как квадрат скорости, а потенциальная – как квадрат смещения, то соответственно происходят и превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в кинетическую. При этом в момент максимального смещения наиболее растянуты области узлов, Þ там запасена потенциальная энергия; в момент нулевого смещения максимальная скорость в пучностях, Þ там максимальна кинетическая энергия. Таким образом, внутри области размером l/2 происходят превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот, соответственно передача энергии от узлов к пучностям и наоборот. При этом никакого переноса энергии через узлы и ее распространения не происходит. Величина среднего потока энергии через любую плоскость, перпендикулярную оси х равна нулю.

Колебания струны, закрепленной с обоих концов. При возбуждении в струне поперечного возмущения, в ней могут возникнуть стоячие волны, но не любой частоты. Это связано с очевидными граничными условиями: на концах струны должны быть узлы. Отсюда следует, что на струне длиной l должно укладываться целое число полуволн: . Это значит, что могут быть возбуждены колебания с длинами волн, подчиняющимися условию , или частот , где n=1,2,3…; а фазовая скорость (см. 36) зависит от силы, приложенной к струне (сила натяжения), и линейной плотности материала струны.

Частоты, определяемые по формуле

(51)

называются собственными частотами струны; частоту n₁ (n=1) называют основной частотой, остальные частоты (n=2,3,…) – обертонами. Гармонические колебания с частотами (51) называются собственными колебаниями, или гармониками.

Звуковые волны. Так называется распространяющийся в упругой среде волновой процесс (в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц), воспринимаемый человеческим ухом. Упругие волны с частотой меньше 20 Гц называются инфразвуком, больше 20 кГц – ультразвуком. Звук различают по высоте, тембру и громкости. Высота звука определяется его частотой: чем больше n, тем выше звук. Тембр звука определяется всем набором частот этого звука, который называется его акустическим спектром. Этот спектр может состоять из непрерывного или дискретного набора частот. Именно тембром определяются отличия в звучании музыкальных инструментов.

Громкость звука – это мера слухового ощущения, качественно характеризуемая терминами от тихого до громкого. При неизменной частоте громкость звука растет с увеличением его интенсивности I (Вт/м²). Минимальная величина I»10^-12 Вт/м² (порог слышимости). При интенсивности звука I»10 Вт/м² (порог болевого ощущения) восприятие звука сменяется ощущением давления и боли. Оба порога зависят от частоты колебаний. Субъективное восприятие громкости возрастает значительно медленнее роста интенсивности звука, поэтому используют логарифмическую шкалу, в которой громкость звука оценивают величиной L:

, где L_Б – уровень интенсивности звука в белах (Б), I₀ » 10^-12 Вт/м² – порог слышимости при частоте 1 кГц. Таким образом, уровень порога слышимости L_Б=0. Обычно пользуются не белами, а в 10 раз меньшей единицей – децибелом:

. (52)

В этих же единицах можно измерять уменьшение (затухание) интенсивности звука на расстоянии. Например, затухание в 20 дБ соответствует уменьшению интенсивности в 100 раз. Действительно: , где - интенсивность в точке, расположенной ближе к источнику.

Эффект Доплера для звуковых волн. Если источник звука, или приемник, или они оба движутся относительно среды, то частота n¢, воспринимаемая приемником отличается от частоты, испускаемой источником . Это явление называется эффектом Доплера, и объясняется уплотнением (разряжением) импульсов, обусловленным движением источника и приемника. Опуская вывод, приведем формулу, связывающую частоты источника n и приемника n¢ :

, (53)

где и - проекции скоростей источника и приемника на ось х, направленную от источника к приемнику, u - скорость звуковых волн в данной среде.

Специальная теория относительности (СТО)

Принцип относительности. Все явления в замкнутой физической системе протекают одинаково независимо от того, покоится она в некоторой инерциальной системе отсчета (СО) или движется как целое с постоянной скоростью.

Событие. Пусть СО, которую обозначим К, покоится, а К′ движется вдоль ох вправо со скоростью υ. Положение материальной точки в К определяется тремя координатами x,y,z и временем t, а в К′ - соответственно x′,y′,z′и t′. Время измеряется по одинаковым и синхронизованным часам, покоящимся относительно своей СО. Совокупность четырех координат(x,y,z, t) или (x′,y′,z′, t′) будем называть событием. Таким образом, событие, происходящее с некоторой материальной частицей определяется местом, где оно произошло и временем, когда оно произошло.

Постулаты СТО.

1. Принцип относительности. (Все инерциальные СО эквивалентны)

2. Существует предельная скорость распространения взаимодействий (или скорость света с в вакууме одинакова во всех инерциальных СО)

Одновременность событий и синхронизация часов. Очевидно, что для измерения промежутка времени между событиями, происходящими в одном и том же месте достаточно в этом же месте иметь часы. Если этот промежуток = 0, Þ события одновременны. А как быть с событиями, происходящими в разных местах? Для измерения промежутка времени между ними, нужно иметь идентичные синхронно идущие часы в тех местах, где эти события происходят.

Синхронизация принципиально может быть осуществлена при помощи светового сигнала следующим образом. Пусть из точки А в момент t₁ по часам А отправляется сигнал в направлении точки В, и, отразившись, возвращается в точку А в момент t₂ по часам А. Пусть t′ - это момент его отражения в точке В по часам В. Тогда по определению, часы А и В идут синхронно, если

.

Казалось бы, а как может быть иначе, если, к примеру, одинаково правильно идущие часы установили по сигналу точного времени, а затем разнесли в точки А и В? Притом, что t₁= t₂, так как скорость света туда и обратно (да и куда угодно – по второму постулату) равна с. Ан нет! Где гарантии того, что пока мы их разносили, что-то не произошло с их временем? Сами знаете, покоящиеся и движущиеся часы идут по-разному. Следовательно, в СТО все и даже очевидное необходимо точно переопределить. Итого, в одной СО даже и в разных местах мы можем считать события одновременными, если эти события произошло в одно и то же время по показаниям синхронизованных часов. А в разных? В этом случае имеет место…

Относительность одновременности и относительность промежутков времени. Это про световой сигнал, пущенный из центра движущегося вагона (см. в конспекте). … Ну уж если в разных СО даже одновременность относительна, то еще хуже дело обстоит с промежутками времени, измеренными по часам разных СО. Покажем, что в движущейся СО время замедляется. Пусть в некоторой системе отсчета К′ два события происходят в одной и той же точке, тогда промежуток времени между ними, Dt₀ , называется собственным временем между этими событиями. Перечитайте эту фразу пять раз! Обратите внимание! К′ - движется, а время – собственное! По каким часам оно измерено? Правильно, по часам системы К′. Каким будет промежуток времени между этими же событиями в системе отсчета К, относительно которой К′ движется со скоростью υ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим мысленный эксперимент со "световыми часами", устроенными так. На концах жесткого стержня длиной l закреплены два параллельных зеркала. Между зеркалами движется короткий световой импульс, периодически отражаясь то от верхнего, то от нижнего зеркала. Пусть этот стержень неподвижен в системе К′ и расположен перпендикулярно скорости υ (или оси х¢, что одно и то же). Рассмотрим один период таких часов: от момента испускания импульса из нижнего зеркала до его возвращения в точку испускания после отражения от верхнего зеркала. В системе отсчета К′ стержень покоится и события (1)- испускание и (2)- возвращение происходят в одной точке, следовательно промежуток времени между ними – это собственное время (что мы читали пять раз?), это время .

С точки зрения системы К стержень движется. Поэтому пока сигнал идет между зеркалами (от нижнего до верхнего) система К′ успевает "отъехать" на расстояние, равное (Почему 2? Потому, что Dt – это время прохождения света от нижнего до верхнего зеркал и обратно). Поэтому с точки зрения наблюдателя находящегося в системе К, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно, т.е. проходит больший путь (равный, по теореме Пифагора, 2 =сDt ). А так как при одинаковой скорости света во всех СО на это потребуется больше времени, то Dt>Dt₀. Выражая Dt , получим

. Таким образом,

(1)

Это значит, что собственное время – самое короткое, или, что движущиеся часы идут медленнее с "точки зрения" покоящихся часов. До сих пор мы автоматически предполагали, что мы находимся в системе К, т.е. покоимся. А как с точки зрения наблюдателя, находящегося в СО К′?

Ответ очевиден и этого требует принцип относительности. С точки зрения наблюдателя, находящегося в СО К′ медленнее идут часы, связанные с системой К.

Сокращение линейных размеров в направлении движения. Покажем, что длина твердого стержня, расположенного вдоль направления относительной скорости систем отсчета К и К′ будет различной в этих системах. Пусть стержень покоится в СО К′. Его длину l₀, измеренную в системе К′, где он покоится, называют собственной длиной. Длину в СО К, относительно которой стержень движется со скоростью υ, обозначим просто l. Чтобы найти связь между l и l₀, рассмотрим два события: 1- прохождение начала стержня мимо точки А на оси х системы К и 2 – прохождение конца стержня мимо этой же точки.

В системе К эти события происходят в одной точке, следовательно, промежуток времени между ними – собственное время (что мы читали пять раз?!), т.е. Dt₀, а длина стержня l= υDt₀. С точки зрения наблюдателя в К′ точка А движется мимо него в противоположную сторону со скоростью υ. И все это происходит в течение времени Dt, естественно по часам системы К′. Поэтому он делает заключение, что l₀= υDt. Выразим υ из двух последних равенств и приравняем правые части. Тогда мы можем выразить l через l₀:

(2)

Поскольку выражение под корнем меньше 1, следовательно, l< l₀. Значит, длина стержня максимальна в той СО, относительно которой стержень покоится. Этот релятивистский эффект носит название лоренцева сокращения линейных размеров (или просто длины). Кстати, Вы уже поняли, что слово "релятивистский" означает такой, для которого приходится учитывать относительность интервалов времени и пространственных расстояний? Произнесите это слово вслух несколько раз, а то не все могут с первой попытки. В полном соответствии с принципом относительности эффект сокращения длины стержня является взаимным: если такой же стержень покоится в СО К, то его длина в этой СО будет равна l₀, а в СО υ будет меньше в соответствии с формулой (2). По-моему, теперь пора перечитать всё с самого начала, а то дальше будет ничего не понять.

Интересно, что при стремлении скорости υ к скорости света (см. формулу (2)) длина стремится к нулю! А при малых по сравнению с с скоростях, наоборот все в порядке и время и размеры практически одинаковы во всех СО. Поэтому релятивистские эффекты были долго не заметны.

Преобразования Лоренца

Полученные на основании постулатов СТО выражения (1) и (2) позволяют путем незатейливых действий (чистая алгебра) получить в отвлеченном (от стержня ) виде преобразования координат и времени при переходе от покоящейся к движущейся СО или наоборот. Попробуйте. (Получите автомат, если сможете это продемонстрировать). В общем, должно получиться следующее (если К′ движется относительно К в положительном направлении осей х и х¢)

; y=y¢ ; z=z¢ ; .

Это и есть преобразования Лоренца, которые переходят в преобразования Галилея при υ<<c.

Самое замечательное в преобразованиях Лоренца – это то, что в них перемешаны пространственные и временные координаты. Это указывает на тесную связь между временем и пространством. Собственно поэтому СТО часто (для более подготовленной публики) излагают, используя четырехмерное пространство, где четвертой координатой выступает время (точнее, сt – это чтобы размерность по всем четырем осям совпадала).

Интервал между событиями. Наиболее характерной чертой СТО является не столько установление относительного характера пространства и времени, а установление абсолютных, не зависящих от выбора систем отсчета законов природы. В частности, это – отыскание инвариантных величин, т.е. величин одинаковых во всех СО. Одну такую величину мы уже знаем: это скорость света в вакууме. Другой такой величиной является пространственно-временной интервал между событиями, который определяется так

,

где

Если воспользоваться преобразованиями Лоренца, то легко убедиться, что величина S₁₂ одинакова во всех СО. Подставьте для упражнения. Учтите, что в нашем случае движения вдоль ох остальные пространственные координаты не меняются при переходе от одной СО к другой (т.е. ).

Интервал S₁₂ является обобщением понятия временного интервала. В зависимости от того, какая составляющая интервала больше – временная (ct) или пространственная (l₁₂) возникает разделение интервалов на времинеподобные и пространственноподобные.

Для времинеподобного интервала c² > , следовательно >0. В этом случае всегда можно найти такую СО К′, в которой рассматриваемые события происходят в одной точке, т.е. =0 и промежуток времени между ними является собственным временем между ними (что мы читали пять раз?). В этой СО интервал равен скорости света, умноженной на собственное время, т.е. пропорционален собственному времени между событиями. Для таких событий понятия ''раньше'', ''позже'' имеют абсолютный смысл. Очевидно, между такими событиями может существовать причинно-следственная связь. (Не обязательно, позже – не значит – вследствие).

Для пространственноподобного интервала c² < , следовательно <0, - интервал является мнимым. В этом случае всегда можно найти такую СО К′, в которой рассматриваемые события происходят одновременно, т.е. =0. Тогда в этой СО . Понятие раньше-позже-одновременно для таких событий относительны: всегда можно указать такие СО, в которых первое событие происходит раньше второго, а можно и такие СО, в которых второе событие происходит раньше первого. Очевидно. Что для таких событий причинно-следственная связь исключена.

Равный нулю интервал между событиями, связанными, очевидно, световым сигналом, называется светоподобным.

Закон преобразования скорости. Этот закон немедленно следует из правил дифференцирования и преобразований Лоренца:

; ;

Отметим, что поперечные к направлению относительной скорости СО u_y и u_z в отличие от координат y и z не остаются неизменными. Это связано с тем, что при переходе от одной СО к другой время также преобразуется.

В предельном случае υ<<c релятивистские формулы переходят в классический закон сложения скоростей, обоснованный преобразованиями Галилея.

Релятивистская динамика

Импульс и энергия. Релятивистские выражения для этих величин отличаются от соответствующих выражений в механике:

, (3)

где m₀ – называется масса покоя частицы – это масса в той СО, где частица покоится. Иногда величину m = называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения для энергии и импульса частицы можно записать в компактном виде

p=mu, E=mc² (4)

Отсюда видно, что если релятивистской частице (т.е. частице, движущейся со скоростью, сравнимой со скоростью света) сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить её импульс, то её скорость при этом увеличится незначительно. Можно сказать, что теперь ее энергия и импульс увеличиваются за счет роста её релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.

Энергия покоя. Из (3) следует, что покоящееся тело обладает энергией:

Эту энергию называют энергией покоя. Можно показать, что кинетическая энергия движущегося тела, равная разности Е-Е₀, при переходе к обычным (малым) скоростям обращается в известное выражение Е=mu²/2.

Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности энергии и массы E=mc², является одним из самых замечательных выводов ТО. В классической механике масса есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т.е. мерой инертности. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу притяжения в поле тяготения. Это - тяготеющая или гравитационная масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных свойств называются одинаковым словом – масса, не случайно, так как оба свойства всегда существуют вместе и всегда друг другу пропорциональны. Это подтверждено с огромной точностью экспериментально. Поэтому в СИ коэффициент пропорциональности между ними намеренно выбран равным 1. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики друг другу пропорциональны. Такое положение вещей характеризуется словом «эквивалентность». Аналогичный вопрос возникает и по поводу массы покоя и энергии покоя в ТО. Проявление свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но эти свойства неразрывно связаны и пропорциональны друг другу. Именно в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Формула E=mc² означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы.

О законе сохранения массы. Опыт показывает, что в огромном большинстве физических процессов, в которых меняется внутренняя энергия, масса остается неизменной. В классической механике мы считали это настолько очевидным, что даже не рассматривали отдельно закон сохранения массы. Как же это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая взвешиванием масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется недостаточной точностью взвешивания.

Рассмотрим пример. При неупругом столкновении двух частиц по 1 г , разогнанных навстречу друг другу до скорости 1 км/с, добавочная масса слипшейся пары составляет Dm, которую можно вычислить из формулы E= Dmc². Таким образом, Dmc²»2 (считаем, что частицы после столкновения остановились и вся их кинетическая энергия в эквивалентном количестве «перетекла в массу»). Подставляем и вычисляем: Dm»10^-11г. Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса 1 г.

Один полезный инвариант релятивистской динамики. Если уравнения (3) рассмотреть как систему и исключить u (т.е. просто выразить эту скорость из одного и подставить во второе), то путем очень несложных алгебраических операций можно получить

Е²-р²с²= .

Выражение справа не зависит от СО, так как оба сомножителя константы. Следовательно, выражение слева является еще одним инвариантом ТО, связывающим энергию и импульс.

Вместо заключения. Раздел, который мы назвали релятивистской динамикой, является частью теории относительности, которую принято называть общей теорией относительности (ОТО). ОТО – сложный и противоречивый организм, который пересматривается практически с момента ее создания. Чтобы не было очень смешно, мы не будем критиковать ОТО. Ибо приличный человек не должен высказываться о предмете, который он не знает.