Примеры выполнения типового расчета

Задача 2.1. Найти все значения корня:

1. 2.

Решение: 1. , ,

2. , ,

На комплексной плоскости значения корней могут быть представлены следующим образом (см. рис 2.1 и 2.2)

Задача 2.2. Представить в алгебраической форме:

1. ; 2.

Решение:

1.

Т. о. - действительное число.

2.

Задача 2.3. Представить в алгебраической форме:

1. 2.

Решение:

1.

2.

Задача 2.4.Вычертить область, заданную неравенствами:

1. ; 2.

Решение:

- кольцо, ограниченное окружностями , окружности не принадлежат области:

правая полуплоскость без границы;

- полоса, ограниченная прямыми и прямые принадлежат области. Таким образом, на комплексной плоскости область имеет вид(см. рис 2.3):

- круг единичного радиуса с центром в точке , граница круга области не принадлежит.

- полуплоскость, расположенная выше прямой вместе с границей;

- полуплоскость, расположенная ниже прямой вместе с границей.

Таким образом, область на комплексной плоскости имеет вид (см. рис 2.4):

Задача 2.5. Определить вид кривой:

1.

2.

Решение:

1.

- прямая.

2.

Приведем уравнение к каноническому виду. Повернем координатные оси на угол .

Угол выберем так, чтобы

Тогда

Пусть . Тогда - гипербола.

Задача 2.6. Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой части и значению .

1.

2.

Решение. Проверим является ли функция гармонической.

Т.е. – гармоническая функция.

Потребуем выполнения условий Коши-Римана:

Из первого условия:

Из второго условия:

Следовательно, .Тогда

или

Из условия имеем . Таким образом,

2. Проверим гармоничность функции :

- гармоническая функция.

Потребуем выполнения условий Коши-Римана:

Из первого условия:

Из второго условия:

Следовательно, . Тогда или . Из условия имеем .

Таким образом, .

Задача 2.7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

1.

2. , АВ – отрезок прямой,

Решение 1. Кривая , вдоль которой ведется интегрирование, представлена на рис 2.5.

Подынтегральная функция аналитическая, поэтому можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Отрезок АВ, вдоль которого ведется интегрирование, представлен на рис. 2.6.

Уравнение прямой АВ , тогда вдоль АВ ,

.

Задача 2.8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням :

1.

2.

Решение.

1. Разложим функцию на простые дроби.

Приравнивая коэффициенты при :

Тогда

Функция имеет следующие области аналитичности:

В области

тогда

В области

тогда

В области

Тогда

2. Разложим функцию на простые дроби.

Тогда

Функция имеет следующие области аналитичности:

В области

Тогда

В области .

Тогда

В области .

Тогда

Задача 2.9. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням .

1.

2.

Решение. Так как функция аналитическая всюду, кроме точек , и , , то она может быть разложена в ряд Лорана по степеням в следующих областях:

Разложим на простые дроби

В области

Тогда В области .

Тогда

В области .

Тогда

2. Так как аналитическая всюду, кроме точек , и , , то она может быть разложена в ряд Лорана по степеням в следующих областях:

Разложим на простые дроби:

Если , то

Если , то

Если , то

Если , то

Тогда в области : .

В области : .

В области : .

Задача 2.10. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки .

1.

2.

Решение.1. Функция имеет одну особую точку , т.е. она является аналитической в области . В этой области запишем ее разложение в ряд Лорана, используя разложение функции :

Тогда

2. Функция имеет одну особую точку , т.е. она является аналитической в области . В этой области запишем ее разложение в ряд Лорана, используя разложение функции :

Тогда

Задача 2.11. Определить тип особой точки данной функции

1.

2.

Решение

,т.е точка не является нулем числителя

т.е точка является нулем 4-го порядка

2.

т.е. есть нуль 5-го порядка числителя

т.е. есть нуль 2-го порядка знаменателя. Это означает, что имеет в точке нуль 3-го порядка, т.е. есть устранимая особая точка функции.

Задача 2.12. Для заданной функции найти изолированные особые точки и определить их тип:

1.

2.

Решение 1.

т.е. есть нуль 3-го порядка числителя.

Одновременно есть нуль 2-го порядка для знаменателя. Это означает, что есть нуль 1-го порядка , т. е. есть устранимая особая точка функции .

, т.е. есть полюсы 1-го порядка .

2. есть существенно особая точка функции , т. к. не существует предела .

т. е. есть устранимая особая точка функции .

т. е. есть устранимая особая точка функции .

есть полюсы 1-го порядка , т. к. они являются нулями 1-го порядка знаменателя и не являются нулями числителя.

Задача 2.13. Вычислить интегралы:

1. .

2.

Решение.

1. Внутри контура имеет особые точки:

- устранимая особая точка, т.к.

Вычет в точке равен 0.

- полюс 1-го порядка.

Вычет в точке равен

Тогда по основной теореме о вычетах

2. Внутри контура имеет особую точку - полюс 1-го порядка

Тогда

Задача 2.14. Вычислить интегралы:

1. .

2.

Решение. 1. Внутри контура имеет полюс 5-го порядка в точке .

Тогда .

2. Внутри контура имеет существенно особую точку .

т.е. ряд Лорана имеет бесконечное число членов в главной части разложения.

Из разложения следует

Тогда

Задача 2.15. Вычислить интегралы:

1. .

2.

Решение. 1. Внутри контура имеет полюс 1-го порядка в точке .

Тогда

2. Внутри контура имеет полюс 1-го порядка в точке , т. к.

Тогда .

Задача 2.16. Вычислить интегралы:

1. .

2.

Решение. 1. Внутри контура функция имеет существенно особую точку ,т. к. не существует, функция имеет полюс 2-го порядка в точке .

Найдем вычеты функций в этих точках:

Тогда .

2. Внутри контура функция имеет полюс 1-го порядка в точке , т.к. при .

имеет полюс 2-го порядка в точке .

Найдем вычеты функций в этих точках:

Тогда

Задача 2.17. Вычислить интегралы:

1.

2.

Решение. 1. Рассмотрим интеграл вида

Пусть , тогда

При изменении от до переменная пробегает окружность в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру , т.е.

Корни уравнения

Внутри контура лежит лишь одна точка являющаяся полюсом 1-го порядка

Тогда

Применяя полученный результат к конкретным интегралам, будем иметь:

1.

2.

Задача 2.18. Вычислить интегралы:

1.

2.

Решение. Рассмотрим интеграл вида

Пусть , тогда

При изменении от до переменная пробегает окружность в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру , т.е.

Корни уравнения ,

Внутри контура лежит лишь одна точка , являющаяся полюсом 2-го порядка

Тогда

Применяя полученный результат к нашей задаче, будем иметь

1.

2.

Задача 2.19. Вычислить интегралы:

1.

2.

Решение. 1. Функция совпадает с функцией на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости полюс 2-го порядка в точке .

Тогда .

2. Функция совпадает с функцией на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости две особые точки: полюс 2-го порядка в точке и полюс 1-го порядка в точке .

Тогда .

Задача 2.20. Вычислить интегралы:

1.

2.

Решение. 1. Рассмотрим функцию , которая имеет в верхней полуплоскости в точках и полюсы 1-го порядка.

Тогда .

2. Рассмотрим функцию , которая имеет в верхней полуплоскости полюс 2-го порядка в точке .

Тогда .

Задача 2.21. Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при отображении с помощью функции .

1. , полуплоскость

2. , полоса

Решение. 1. Дробно-линейное отображение строим по 3-м парам точек и направлению обхода.

Например, - точка на единичной окружности;

- точка на единичной окружности

- точка на единичной окружности.

Таким образом, полуплоскость преобразуется во внешнюю область единичного круга (см. рис 2.7)

2.

Рассматриваемое отображение можно рассматривать как последовательные отображения:

– поворот на угол и расширение полосы вдвое;

– полученная полоса отображается на полуплоскость ;

– дробно-линейная функция отображает полуплоскость на внутренность единичного круга. (см. рис 2.8)

Задача 2.22. Найти круг сходимости степенного ряда и определить сходимость ряда на границе круга.

1. ; 2. .

Решение 1. Запишем –й и –й члены ряда:

,

По признаку Даламбера . В нашем случае:

Отсюда, ряд сходится в круге . При этом, ряд сходится абсолютно, если и равномерно, если .

На границе круга имеем числовой ряд с действительными членами , который по признаку Лейбница сходится условно.

2. Запишем –й и –й члены ряда:

,

По признаку Даламбера

.

Отсюда, ряд сходится в круге . При этом, ряд сходится абсолютно, если и равномерно, если .

На границе круга имеем числовой ряд с действительными членами .

Ряд сравним с гармоническим рядом .

Ряд расходится, следовательно по признаку сравнения ряд тоже расходится. Следовательно, исходных ряд на границе круга расходится.

Домашнее задание по ТФКП.

1. Найти все значения корня комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости.

2. Представить комплексное число в алгебраической форме.

3. Представить комплексное число в алгебраической форме.

4. Определить область, заданную неравенствами. Сделать чертеж.

5. Определить вид кривой.

6. Восстановить функцию , аналитическую в окрестности точки , по известной действительной части или мнимой части и значению .

7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой, используя формулу Ньютона-Лейбница.

8. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по заданной кривой, сведя интеграл к криволинейным интегралам от функции действительного переменного.

9. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням .(дробно-рациональная функция)

10. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням .(дробно-рациональная функция)

11. Найти все разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки .

12. Определить тип особой точки для данной функции.

13. Для данной функции найти изолированные особые точки и определить их тип.

14. Вычислить интеграл, используя теорему о вычетах.

15. Вычислить интеграл.

16. Вычислить интеграл.

17. Вычислить интеграл.

18. Вычислить интеграл.

19. Вычислить интеграл.

20. Определить, во что превращается фигура при отображении функции .

21. Определить круг сходимости степенного ряда и оценить сходимость ряда на границе круга сходимости.