Образец выполнения типового расчета

по разделу «Дифференциальные уравнения»

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Ответ представить

в виде Образец выполнения типового расчета - student2.ru (x,y)=C.

а) Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение, вынося общий множитель слева Образец выполнения типового расчета - student2.ru : Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Разделим правую и левую части равенства на произведение множителей, стоящих не у своих дифференциалов, т.е. на Образец выполнения типового расчета - student2.ru :

Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Проинтегрируем обе части последнего равенства: Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru , откуда Образец выполнения типового расчета - student2.ru - общий интеграл данного уравнения.

b) Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.Имеем однородное дифференциальное уравнение вида Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Полагаем Образец выполнения типового расчета - student2.ru тогда Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Почленно интегрируя последнее равенство , получим Образец выполнения типового расчета - student2.ru Так как Образец выполнения типового расчета - student2.ru , то общий интеграл имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru

2.Найти решение задачи Коши

а) Образец выполнения типового расчета - student2.ru , если Образец выполнения типового расчета - student2.ru при Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Решение.Разделив все члены данного уравнения на Образец выполнения типового расчета - student2.ru , приведем его к виду

Образец выполнения типового расчета - student2.ru Имеем линейное уравнение вида Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Здесь Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Решим уравнение методом Бернулли. Положим Образец выполнения типового расчета - student2.ru , откуда Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Подставим эти значения в уравнение : Образец выполнения типового расчета - student2.ru Сгруппируем члены, содержащие, например Образец выполнения типового расчета - student2.ru , и вынесем Образец выполнения типового расчета - student2.ru за скобку: Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Выберем функцию Образец выполнения типового расчета - student2.ru так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда дифференциальное уравнение разобьется на два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными: Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решаем уравнение (1) при Образец выполнения типового расчета - student2.ru : Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Интегрируя почленно обе части равенства, имеем: Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru ,или Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Подставим это значение в уравнение (2): Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Интегрируя почленно, имеем: Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Заменив в подстановке Образец выполнения типового расчета - student2.ru функции Образец выполнения типового расчета - student2.ru и Образец выполнения типового расчета - student2.ru их выражениями из равенств (1) и (2), получим искомое общее решение данного уравнения:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным данным Образец выполнения типового расчета - student2.ru при Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Для этого подставим в найденное общее решение начальные условия: Получим Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Искомое частное решение данного уравнения имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Замечание.Искомое решение уравнения Образец выполнения типового расчета - student2.ru можно найти методом Лагранжа.

Соответствующее однородное уравнение есть Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Разделяя переменные, получим Образец выполнения типового расчета - student2.ru , откуда Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Это решение однородного уравнения.

Считая С функцией от x, дифференцируя, находим

Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Подставляя y и Образец выполнения типового расчета - student2.ru в исходное дифференциальное уравнение Образец выполнения типового расчета - student2.ru получаем Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Откуда Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Отсюда получаем выражение С через x:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Итак, общее решение уравнения будет Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

b) Образец выполнения типового расчета - student2.ru при Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Решение. Составим характеристическое уравнение Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Найдем корни полученного квадратного уравнения : Образец выполнения типового расчета - student2.ru , откуда Образец выполнения типового расчета - student2.ru и Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Так как корни действительные и Образец выполнения типового расчета - student2.ru , то общее решение имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Подставляя найденные значения Образец выполнения типового расчета - student2.ru и Образец выполнения типового расчета - student2.ru в формулу общего решения , имеем: Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Дифференцируя общее решение, получим

Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Согласно заданным начальным условиям имеем

Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru ,

или Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru , откуда

Образец выполнения типового расчета - student2.ru и Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Таким образом, искомым частным решением является функция Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

С) Образец выполнения типового расчета - student2.ru , если Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде аргументах , т.е. имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Примем в качестве независимой переменной y и выполним замену Образец выполнения типового расчета - student2.ru Тогда Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Исходное уравнение примет вид:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru .После сокращения наОбразец выполнения типового расчета - student2.ruимеем: Образец выполнения типового расчета - student2.ru .Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru ,

откуда Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Заменим Образец выполнения типового расчета - student2.ru на Образец выполнения типового расчета - student2.ru : Образец выполнения типового расчета - student2.ru , которое является уравнением с разделяющимися переменными: Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Получили общий интеграл для исходного дифференциального уравнения. Для решения задачи Коши, подставим в него и в выражение для Образец выполнения типового расчета - student2.ru значения Образец выполнения типового расчета - student2.ru :

Образец выполнения типового расчета - student2.ru Образец выполнения типового расчета - student2.ru Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Подставляя полученные значения констант в общий интеграл имеем решение задачи Коши: Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

3.Найти общее решение дифференциального уравнения.

а) Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде y , т.е. имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Выполним замену Образец выполнения типового расчета - student2.ru Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Тогда исходное уравнение примет вид:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Разделим переменные: Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Проинтегрируем:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Общий интеграл имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru или

Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Теперь вернемся к прежней неизвестной функции y. Так как Образец выполнения типового расчета - student2.ru то Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Интегрируя, получаем общий интеграл Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

b) Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru , где Образец выполнения типового расчета - student2.ru – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение Образец выполнения типового расчета - student2.ru имеет корни Образец выполнения типового расчета - student2.ru откуда общее решение однородного уравнения имеет вид: Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид первого типа Образец выполнения типового расчета - student2.ru , т.к. Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Корень Образец выполнения типового расчета - student2.ru не является корнем характеристического уравнения, не имеет кратности. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде Образец выполнения типового расчета - student2.ru Для определения неизвестных коэффициентов А, В и С находим:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Подставляя Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru и Образец выполнения типового расчета - student2.ru в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство: Образец выполнения типового расчета - student2.ru или

Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

Образец выполнения типового расчета - student2.ru

из которой находим Образец выполнения типового расчета - student2.ru Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

в). Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение. Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru , где Образец выполнения типового расчета - student2.ru – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение Образец выполнения типового расчета - student2.ru имеет корни Образец выполнения типового расчета - student2.ru , откуда общее решение однородного уравнения имеет вид Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов.

Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид второго типа Образец выполнения типового расчета - student2.ru , так как Образец выполнения типового расчета - student2.ru , где Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Здесь Образец выполнения типового расчета - student2.ru Комплексные числа Образец выполнения типового расчета - student2.ru являются корнями характеристического уравнения Образец выполнения типового расчета - student2.ru и имеют кратность r=1 . Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

Образец выполнения типового расчета - student2.ru или

Для определения неизвестных коэффициентов А1, В1 , А2 и В2 подставляем Образец выполнения типового расчета - student2.ru , Образец выполнения типового расчета - student2.ru и Образец выполнения типового расчета - student2.ru в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Из системы находим Образец выполнения типового расчета - student2.ru так что Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Общее решение исходного уравнения есть

Образец выполнения типового расчета - student2.ru Образец выполнения типового расчета - student2.ru

4. Найти функцию, график которой обладает тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.

Образец выполнения типового расчета - student2.ru Решение. Пусть Образец выполнения типового расчета - student2.ru – искомая функция, а Образец выполнения типового расчета - student2.ru – произвольная точка кривой, определяемой этим уравнением. Предположим, для определенности, что кривая расположена в первой четверти ( см. рис). По условию задачи имеем Образец выполнения типового расчета - student2.ru , следовательно, Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Из рис. видно, что Образец выполнения типового расчета - student2.ru , т.е. Образец выполнения типового расчета - student2.ru , или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Учитывая, что Образец выполнения типового расчета - student2.ru есть угловой коэффициент касательной, который в точке

Образец выполнения типового расчета - student2.ru равен Образец выполнения типового расчета - student2.ru , получаем дифференциальное уравнение Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Имеем дифференциальное уравнение вида Образец выполнения типового расчета - student2.ru , т.е. с разделяющимися переменными.

Приведем уравнение к дифференциальной форме: Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Разделим переменные:

Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Почленно интегрируем: Образец выполнения типового расчета - student2.ru . Имеем Образец выполнения типового расчета - student2.ru или

Образец выполнения типового расчета - student2.ru или Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

Таким образом, решением уравнения является всякая функция вида Образец выполнения типового расчета - student2.ru .

5. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений: Образец выполнения типового расчета - student2.ru

Решение.Система решается методом исключения переменных. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по переменной t:

Наши рекомендации