Целевая функция в задаче ЛП с двумя переменными

В задаче с двумя переменными целевая функция имеет вид

Z=c₁x₁+ c₂x₂

Предположим, что Z = 3x₁ + x₂. Выясним, как графически можно представить целевую функцию в координатной плоскости Х₁0Х₂. Для этого придадим Z какое-либо постоянное значение, например, Z= 3. Тогда получаем

3x₁ + x₂ =3, или x₂ =3-3x₁

Это уравнение задает в координатной плоскости Х₁0Х₂ прямую с угловым коэффициентом, равным (-3). Напомним, что угловой коэффициент прямой — это коэффициент, стоящий при аргументе х₁, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси 0Х₁ и, следовательно, задает ее наклон. Нанесем эту прямую на график, представленный на рис. 3.5. Заметим, что для всех точек, принадлежащих данной прямой, значение целевой функции одинаково (постоянно) и равно 3, поскольку все точки прямой удовлетворяют уравнению 3х₁ + x₂=3.

Положим теперь Z = 5. Тогда в Х₁0Х₂ получаем новую прямую (рис, 3.5), уравнение которой

3x₁ + x₂ =5, или x₂ = 5-3 x₁

X₂

X1

Z=5

Z=3

Рис.3.5.

Заметим, что угловой коэффициент новой прямой, также как и первой (Z = 3), равен (-3). Следовательно, прямые Z=3и Z=5 параллельны друг другу.

Пусть теперь Z = 6. Рассуждая аналогично, можно построить на графике прямую, задаваемую и этим уравнением. Она также будет параллельна первым двум прямым линиям Z = 3 и Z = 5, поскольку угловой коэффициент и в этом случае остался равным (-3).

Причем по мере удаления от начала координат величина Z возрастает, а при перемещении к началу координат — уменьшается. Легко прийти к выводу: разным значениям целевой функции Z соответствует семейство параллельных прямых.

Для нахождения наибольших и наименьших значений целевой функции необходимо в первую очередь научиться определять, в каком направлении следует перемещать какую-либо линию Z = const, чтобы значение Z возрастало (убывало). Это можно сделать двумя способами. Первый рассмотрен выше: построив пару прямых для разных значений Z и сопоставив их взаимное расположение, определяют направление возрастания или убывания целевой функции. Однако сделать это удобнее на основе использования некоторых сведений из математического анализа, а именно:

• Если задана функция двух переменных Z = f(x₁ х₂), то линии в Х₁0Х₂ для которых Z = f(x₁ х₂) = const, называют линиями уровня. Иначе говоря, это те линии, во всех точках которых величина Z постоянна.

• В задачах линейного программирования линиями уровня являются прямые Z = const. Во всех точках, принадлежащих какой-либо линии уровня, значение целевой функции одинаково.

• Важным свойством линий уровня для линейных целевых функций является то, что при их параллельном смещении в одну сторону величина Z только возрастает, а при перемещении в другую сторону — только убывает.

• Определить направление возрастания целевой функции можно с помощью специального вектора, называемого градиентом функции Z = f(x₁ х₂). Для его обозначения используют символ .

• Вектор-градиент обладает следующим свойством: в каждой точке он перпендикулярен соответствующей линии уровня и указывает направление ее возрастания.

• В задачах линейного программирования с целевой функцией Z = с₁х₁ + c₂x₂ координатами вектора являются его коэффициенты: = (с₁, c₂) (рис. 3.6).

=(с1,с2)

C2

x₂

X1

Z=const

C1

Рис.3.6.

Эти утверждения позволяют строить только одну прямую Z = const и далее определять с помощью вектора с координатами = (c₁,c₂), в каком направлении целевая функция Z будет возрастать, а в каком убывать.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы.

• Эффективным инструментом для анализа поведения целевой функции являются линии уровня.

• Линии уровня в задачах линейного программирования с двумя переменными — это прямые, во всех точках которых величина Z постоянна.

• Вектор = (с₁ ,c₂), где с₁, с₂ — коэффициенты целевой функции, позволяет определить, в какую область значений параметров оптимизации x₁ и х₂ следует перемещаться, чтобы величина Z возрастала (при ее максимизации) либо убывала (при ее минимизации).

• При изменении коэффициентов (c₁, c₂) целевой функции Z = с₁х₁+ c₂x₂ линии уровня меняют наклон и направление возрастания.