Примеры. 27. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля вдоль кривой x=3cost, y=sint с

27. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля вдоль кривой x=3cost, y=sint с

обходом по часовой стрелке.

Решение. Данная кривая является эллипсом. Обход кривой совершается по часовой стрелке, поэтому t меняется от 2p до 0. Следовательно, циркуляция вычисляется следующим образом: . Ответ: –3p

28. Вычислить циркуляцию вектора вдоль окружности в положительном направлении.

Решение. Параметрическое уравнение окружности: x=cost, y=sint, z=0, 0 £ t £ 2p. Поскольку P = –y =

= ‑sint, Q=x=cost, R=1, dx= –sintdt, dy=costdt, dz=0, то по определению циркуляции получаем:

.

Ответ: 2p

29. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура квадрата

ABCDA, определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a; z=0. См. рис. 2.

Решение. Имеем: , так как z=0 и dz=0. Разбиваем искомую циркуляцию на четыре линейных интеграла, причем в качестве параметра на каждой стороне квадрата выбираем координату y:

Ответ: –2а².