Преобразования Лоренца

В релятивистской области движения сохраняется во многом модель пространства и времени классической механики. Т.е. пространство трёхмерно и евклидово, непрерывно, однородно и изотропно. Время – одномерно, непрерывно, однородно и однонаправлено. Новым является закон преобразования координат и времени при переходе от одной ИСО к другой. Это так называемые преобразования Лоренца, открытые им ещё до появления СТО. Найдём их, используя упомянутые свойства пространства и времени и постулаты Эйнштейна.

Пусть x, y, z, t и - координаты и время в ИСО s и , V- скорость движения относительно s. Нет никаких оснований полагать, что время в системах s и совпадают.

1. Из однородности пространства и времени следует, что

, (1)

и аналогично для , где - константы. Если бы мы имели, что и т.д., то связь (1) была бы нелинейной и следовательно закон преобразования был бы неодинаков для разных x, y, z, t. Но эти коэффициенты конечно могут зависеть от V.

2. Не ограничивая общность рассуждений будем считать, что соответствующие оси координат параллельны и относительное движение происходит вдоль оси x со скоростью V, а начала систем отсчета выбраны так, что при t=0 начало системы (т.е. точка ) совпадало с началом системы отсчета s (точкой x=y=z=0) и в этот момент часы в системе показывали . При этом в формуле (1) p=0. Так как плоскости xy и совпадают, то при следует для любых . Но это возможно только если ,где k=const. Ввиду произвольности осей (изотропия пространства), такая же связь с тем же коэффициентом должна быть и для

Запишем преобразования для в виде

(2)

В плоскости , имеем для любых y,z.

Подставляя эти и в формулу (2) получим, что

Учитывая, что при следует находим, что

.

Таким образом,

(3)

3. Системы s и равноправны. Это значит, что формулы перехода из в s должны получаться из формулы (3) заменой V на -V .

(4)

Обратимся сначала к формулам для y и z ((3) и (4)), отличающимся направлением скорости. Вследствие изотропии пространства должно быть k(V)=k(-V). Совершая преобразования от y к и обратно, находим , т.е. . Значение отвечает противоположной ориентации осей, поэтому, в соответствии с рисунком , . Подставим и (3) в формулу для x (4). Получим

(5)

Чтобы это выполнялось для всех x и t необходимо, чтобы

(6)

4. Пусть в момент из совпадающих начал систем и начинает распространяться сферическая световая волна. Точка пересечения фронта волны с осью движется со скоростью . Но свет распространяется во всех системах отсчета с одинаковой скоростью, следовательно , и поделив на (3) получим откуда

(7)

Чтобы найти рассмотрим уравнение сферического волнового фронта в системах и :

, (8)

Поскольку то

, (9)

С помощью формул (3), (6), (7) находим что

(10)

Здесь опять надо взять знак плюс, так как знак минус отвечает противоположному направлению осей и . Собирая воедино все результаты, приходим к релятивистским формулам преобразования координат и времени - преобразованиям Лоренца

(11)

Обратные преобразования получаются заменой :

(12)

В целях сокращения записи часто используют обозначения , . В этих обозначениях преобразования Лоренца принимают вид

(13)

При имеем и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Т.о. СТО не отвергает преобразования Галилея как неверные, но включает их в истинные преобразования Лоренца, как частный случай, справедливый для скоростей <<c .