Функции t-распределения (распределения Стьюдента)

Функция СТЬЮДРАСП

См. также ДОВЕРИТ, СТЬЮДРАСПОБР, ТТЕСТ.

Синтаксис;

СТЬЮДРАСП (x; степени свободы; хвосты)

Результат;

Рассчитывает t-распределение (распределение Стьюдента).

Аргументы;

x: значение, для которого вычисляется t-распределение;

степени свободы: число степеней свободы;

хвосты: число рассчитываемых хвостов распределения. Если аргумент хвосты = 1, то функция СТЬЮДРАСП рассчитывает одностороннее t-распределение; если аргумент хвосты = 2 — двустороннее t-распределение.

Математико-статистическая интерпретация;

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой Ляпунова нормально (или приближается к нормальному) по мере увеличения числа наблюдений. Вероятность выхода ошибки за определенные пределы оценивается на основе таблиц интеграла Лапласа (см. описание функции ДОВЕРИТ в подразд. 6.3.1).

Однако в практике статистических исследований часто приходится сталкиваться с так называемыми малыми выборками, объем которых не превышает 30 ед. и может доходить до 4-5 ед.

Разработка теории малой выборки была начата в 1908 г. английским статистиком Госсетом, печатавшимся под псевдонимом Стьюдент. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения, получивший название распределения Стьюдента. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым t-критерием (критерием Стьюдента), вычисляемым по формуле

t =

где — генеральная средняя;

— выборочная средняя;

— мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина определяется следующей формулой:

=

где величина вычисляется на основе данных выборочного наблюдения:

=

Предельная ошибка малой выборки Δ_МВ связана со средней ошибки малой выборки и коэффициентом доверия t (критерием Стьюдента) следующим соотношением:

Δ_МВ = t

В данном случае величина t связана не с нормальным распределением, а с распределением Стьюдента, которое при небольшом объеме выборки отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении.

При увеличении n распределение Стьюдента стремится к нормальному и при n переходит в него.

Пример 6.15. При контрольной проверке качества поставленного в торговлю маргарина получены следующие данные о содержании консерванта Е205 в 10 пробах, %: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. Какова вероятность того, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии не выйдет за пределы 0,1% его среднего содержания в представленных пробах?

Рассмотрим решение задачи в среде Microsoft Excel (табл. 6.7).

Табл. 6.7

Содержимое ячеек в табл. 6.7:

массив С2:С11 содержит исходные данные задачи;

ячейка С12 содержит формулу =СРЗНАЧ(С2:С11) — рассчитывается значение выборочной средней ;

ячейка С13 содержит формулу =С12 - 0,1 — определяется нижняя граница генеральной средней;

ячейка С14 содержит формулу =С12 + 0,1 - определяется верхняя граница генеральной средней;

ячейка С15 содержит формулу =СТАНДОТКЛОНП(С2:С11) — вычисляется стандартное отклонение ;

ячейка С16 содержит формулу =С15/КОРЕНЬ(10-1) — рассчитывается значение средней ошибки выборки ;

ячейка С17 содержит формулу =0,1/С16 - рассчитывает значение коэффициента доверия t (здесь величина 0,1 — значение предельной ошибки выборки Δ_МВ, заданное в условии задачи);

ячейка С18 содержит формулу =1- СТЬЮДРАСП(С17;9;2) — рассчитывается значение доверительной вероятности γ.

Примечание. Аргументом функции СТЬЮДРАСП является число степеней свободы k = n - 1. Для рассматриваемой задачи k = 10 - 1 = 9.

Таким образом, на основании проведенного выборочного контроля качества продукции можно заключить, что среднее содержание консерванта Е205 во всей партии будет находиться в пределах от 4,0 до 4,2% с уровнем надежности 72%.

Функция СТЬЮДРАСПОБР

См. также СТЬЮДРАСП, ТТЕСТ

Синтаксис;

СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени свободы)

Результат

Рассчитывает обратное t-распределение.

Аргументы;

вероятность: вероятность, соответствующая двустороннему t-распределению (уровень значимости α);

степени свободы: число степеней свободы.

Математико-статистическая интерпретация;

См. описание функции СТЬЮДРАСП.

Функция обратного распределения Стьюдента используется в ситуациях, когда известен уровень надежности (или уровень значимости) и необходимо рассчитать значение t-критерия.

Например, формула =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;4) рассчитывает значение 2,78 (сравните с формулой =СТЬЮДРАСП(2,78;4;2), вычисляющей значение 0,05).

Пример 6.16. В задаче, рассмотренной в примере 6.15, с уровнем надежности 95 % требуется определить границы интервала, в котором находится средний процент содержания консерванта Е205 в партии маргарина.

Исходя из числа степеней свободы k(k=n-1=10-1=9) и заданного уровня надежности 95 % (уровня значимости α = 0,05) находим значение коэффициента доверия, равное 2,26 (формула =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;9)). По формуле Δ _МВ = t (2.26*0.087) находим значение предельной ошибки малой выборки, равное 0,20 (расчет значения см. в описании функции СТЬЮДРАСП).

Следовательно, с уровнем надежности 95% можно предположить, что во всей партии маргарина содержание консерванта Е205 находится в пределах 4,1+0,2%, т. е. от 3,9 до 4,3 %.