Метод підсилення при доведенні нерівностей

Нехай нам потрібно довести нерівність , де - деякі числові вирази або вирази із змінними. Вважатимемо, що є очевидною, або легко доводиться нерівність . Якщо нам вдасться довести нерівності та , то, очевидно, що задача буде розв’язаною. Це випливає з ланцюжка нерівностей . Іноді такий ланцюжок може бути довшим, а іноді навіть коротшим, якщо . Наприклад, щоб довести числову нерівність , достатньо зауважити, що , а . Такий прийом у доведеннях нерівностей називають методом підсилення.

При застосуванні цього методу часто використовують співвідношення , при , при , при , при .

Наведемо приклади подібних доведень.

Задача 1.5.1. Довести нерівність

.

Доведення. Маємо

Задача 1.5.2. Довести, що при виконується нерівність

.

Доведення. Маємо

, ,…, .

Додаючи дані нерівності, дістаємо

.

Отже, .

Задача 1.5.3. Довести нерівність

.

Доведення. Позбудемося ірраціональності у знаменниках дробів. Оскільки

,

то

.

Для доведення нерівності залишається зауважити, що

.

Задача 1.5.4. Довести нерівність .

Розв’язання.

.

Задача 1.5.5. Довести нерівність

,

якщо у кожному з доданків використано 2013 радикалів.

Доведення.

.

Задача 1.5.6. Для додатних чисел довести нерівність .

Доведення. Використовуючи двічі нерівність , де , отримуємо

,

що і потрібно було довести.

Задача 1.5.7. Довести нерівність .

Доведення. Очевидні нерівності

, , …,

, .

Додавши їх та перший доданок суми, тобто число , дістаємо потрібну нерівність.

Задача 1.5.8. Порівняти числа та при .

Розв’язання. Порівняємо квадрати цих додатних чисел, тобто вирази та або числа та . Очевидно, що , тому перше із заданих чисел менше.

Задача 1.5.9. Довести, що .

Доведення. Очевидно, що , , ,…, . Перемноживши ці нерівності, отримаємо, що .

Задача 1.5.10. Довести, що .

Доведення. Очевидно, що , , …, . Тому

.

Отже, .

Задача 1.5.11. Довести, що для всіх додатних чисел , для яких , виконується нерівність

.

Доведення. При із очевидної нерівності випливає, що . Використаємо одержане співвідношення для перетворення доданків заданої нерівності. Дістаємо:

.

При виконанні перетворень для чисел у кінці доведення використано нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним, які ми більш детально розглянемо в пункті 1.7. Рівність у заданому співвідношенні досягається тільки при .

Задача 1.5.12. Довести, що для довільних додатних чисел виконується нерівність .

Доведення. Використовуючи нерівність , отримуємо

.

Зауважимо, що нерівності, одну з яких ми доводимо, та друга, яку використовуємо при доведенні, є частинним випадком нерівності , яка випливає з тотожності

.

Задача 1.5.13. Для чисел , кожне з яких не менше 1, довести нерівність .

Доведення. Відповідно до умови маємо .Тому

.

Рівність досягається тільки при .

Задача 1.5.14. Для чисел , кожне з яких не менше 2, довести нерівність .

Доведення. Очевидно, що при виконується нерівність . Аналогічно при маємо і при . Тому

.

Рівність досягається при .

Задача 1.5.15. Довести, що для всіх натуральних чисел та .

Доведення. Очевидно, що задача зводиться до доведення нерівності , оскільки після підстановки в неї значень та і перемноження одержаних нерівностей отримуємо співвідношення, що доводиться. Тепер маємо, що при виконується знак рівності, а при , використовуючи біном Ньютона, дістаємо

.

Задача 1.5.16. Знайти найбільше та найменше значення виразу , якщо числа належать відрізку .

Доведення. Виконаємо наступні перетворення:

.

Згідно з умовою задачі маємо

.

Таким чином, величина знаменника змінюється у межах від до , а величина заданого виразу – від 2 до 3. Найбільше та найменше значення досягаються при та .

Задача 1.5.17. Сума двох додатних чисел дорівнює 2013. Довести, що ці числа задовольняють нерівність .

Доведення. Запишемо задане в умові співвідношення у виді та, використовуючи двічі нерівність , перетворимо його ліву частину. Отримуємо

,

що і потрібно було довести.

Задача 1.5.18. Довести, що для всіх виконується нерівність

.

Доведення. Запишемо нерівність у виді . Тепер, міркуючи, як і у попередній задачі, отримуємо

,

що і потрібно було довести.

Задача 1.5.19. Якщо - натуральні числа, то . Довести.

Доведення. Доведення випливає із співвідношення , оскільки кожен з трьох доданків у лівій частині не перевищує 1. Рівність можлива тільки у випадку .