Лекция Лобачевский және оның геометриясы

Лекция жоспары

1. Н.И.Лобачевский және оның геометриясы.

2. Лобачевский аксиомасы.

Дәріс тезисі

Лобачевский Геометриясы - евклидтік емес геометрияның бір түрі; Евклид геометриясындағы параллель түзулер жөніндегі аксиома қарама-қарсы мағыналы аксиомоға ауыстырылған. Евклид “Негіздемелерінде” параллель түзулер жөніндегі аксиома былайша тұжырымдалған: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын бір ғана түзу жүргізуге болады. Ал Лобачевский геометриясы оның орнына мынадай аксиома қолданылады: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу жүргізуге болады. Лобачевский геометриясын Н.И. Лобачевский жасап дамытқан. Сәл кейін осындай теорияны Я.Больяй (1802 — 1860) да дәлелдеген. Сондықтан, Лобачевский геометриясы кейде Лобачевский — Больяй геометриясы деп те аталады. Евклидтен Лобачевскийге дейінгі 2 мың жылдан аса уақыт аралығында көптеген ғалымдар К.Птолемей, Д.Прокл, Ибн әл-Хайсам, О.Хайям, П.Катальди, Дж.Валлис, Дж.Саккери, А.Лежандр, Ф.Швейкарт, Ф.Тауринус, т.б. осы теорияны дәлелдемек болып еңбек еткен. Лобачевский геометриясын арнайы гиперболалық евклидтік емес геометрия деп атайды. Олай атау Риманның эллипс[эллипстік] геометриясына қарсы қою үшін қажет болды (қ. Риман геометриясы). Лобачевский геометриясы математикада да, физикада да қолдануға болатын мазмұны бай теория. Лобачевский бұл теорияны құру арқылы Евклидтік емес геометрияның озық мүмкіндіктерін көрсетті. Ол геометрия және жалпы математика дамуындағы жаңа белес болды (қ. Геометрия). Лобачевский геометриясы Лобачевский жазықтығы (планиметрияда) мен Лобачевский кеңістігінің (стереометрияда) қасиеттерін зерттейді.

НЕГІЗГІ ӘДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ҚОСЫМША ӘДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с:

Дәріс Лобачевский жазықтығының геометрияның жай теоремалары.

Жоспары

1. Лобачевский жазыктығында геометрияның жай теоремалары.

2. Лобачевский жазыктығының аксиомалар жүйесiнiң кайшылыксыздығы

3. Аксиома, кесіндінің ұзындығы.

4. Бар болу және жалғыздық теоремасы

5. Көпжақтар ауданы аксиомасы

6. Бар болу және жалғыздық теоремасы

7. Көлемдер теориясы

Дәріс тезисі

Лобачевский жазықтығы - параллель түзулер туралы аксиомадан басқа Евклид геометриясы аксиомаларының барлығына бағынатын түзу сызықтар мен фигуралардың қозғалысы (сонымен қатар қашықтықтар, бұрыштар, т.б.) анықталған жазықтық (нүктелер жиыны). Осыған ұқсас жолмен Лобачевский кеңістігі де анықталады. Лобачевский геометриясының нақты мәнін анықтау мәселесі Лобачевскийдің жазықтығы мен кеңістігінің үлгісін табу болатын, яғни Лобачевский геометриясының планиметриясы мен стереометриясының ережелері шамалап түсіндірілген нысандарды табу еді. 1868 ж. Э.Бельтрами Лобачевский жазықтығының бір бөлігіндегі геометрияның тұрақты теріс қисықтығы бар беттердегі геометриямен сәйкес келетінін байқаған; оның қарапайым мысалы — псевдосфера.

Лобачевский геометриясының Евклид геометриясынан бірнеше айырмашылықтары бар:

· Лобачевский геометриясында ұқсас бірақ бір-біріне тең емес үшбұрыштар кездеспейді; егер бұрыштары тең болса, ондай үшбұрыштар өзара тең болады.

· -ден кіші және барынша дерлікpКез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 0-ге жақын болуы мүмкін.

· а түзуінің бойында жатпайтын кез-келген О нүктесі арқылы а түзуімен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын шексіз көп түзу жүргізуге болады.

· Егер түзулерде ортақ перпендикуляр болса, онда олар перпендикулярдан екі жаққа шексіз таралады.

· Түзулерден тең қашықтықтағы сызық түзу емес, ерекше қисық, ол эквидистанта немесе гиперцикл деп аталады.

· Шексіз ұлғаятын дөңгелектің шегі түзу емес, ерекше қисық, ол шектік шеңбер немесе орицикл деп аталады.

· Радиусы шексіз ұзаратын сфераның шегі жазықтық емес, ерекше бет, ол шектік сфера немесе орисфера деп аталады; бұның бір ерекшелігі, бұл бетте Евклид геометриясы да орындалады. Бұл Лобачевскийге тригонометрия формуласын қорытып шығаруға мүмкіндік берді.

· Шеңбер ұзындығы радиусына пропорционал емес, ол шапшаң өседі.

· Лобачевский жазықтығы мен кеңістігіндегі аймақ неғұрлым кішірек болса, осы аймақтағы метрик. арақатынастар евклид геометриясы арақатынастарынан соғұрлым аз ерекшеленеді. Яғни, шексіз аз аймақта Евклид геометриясы орынды деп айтуға -денpболады. Мысалы, үшбұрыш неғұрлым кіші болса, оның бұрыштарының қосындысы соғұрлым алшақтайды, т.б.

Лобачевский геометриясында салу есептері, көпжақтар, қисықтар мен беттердің жалпы теориясы, т.б. есептердің шешулері қарастырылады. Лобачевский өзінің геометриясын анықталған интегралдарды есептеуге қолданған. Лобачевский геометриясы көмегімен кешенді айнымалы функциялар теориясында автоморфты функциялар теориясы құрылды. Ол сандар теориясында, дербес салыстырмалық теориясы кинематикасында, жалпы салыстырмалықтың теориясында қолданылады.

Қарапайым бет.

Бет — негізгі геометриялық ұғымдардың бірі. Бетке геометрияның әр саласында әр түрлі мағына беріледі.

1) Геометрияның мектеп курсында жазықтықтар, көп жақтар және кейбір қисық беттер қарастырылады. Әрбір қисық бет арнаулы тәсіл арқылы анықталады және ол, көбінесе, белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын нүктелердің жиыны ретінде қарастырылады. Мысалы, шар беті — берілген нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер жиыны;

Бет ұғымының математикалық дәл анықтамасы топология ұғымдарына негізделеді. Бұл жағдайда негізгі ұғым — қарапайым бет. Оны жазықтықтың үздіксіз деформацияланған (созылған, қысылған және иілген) бөлігі ретінде қарастыруға болады. Бұдан да дәлірек анықтамасында қарапайым бет квадрат ішін гомеоморфты бейнелеудің (яғни, өзара бір мәнді әрі үздіксіз бейнелеудің) бейнесі. Беттің бұл анықтамасына аналитикалық өрнек те беруге болды. Қарапайым беттің мысалына жарты сфера жатады, ал толық сфера жатпайды.

Беттің топологиялық құрылысы екі өлшемді көп бейне ретінде: тұйық бет, ашық бет, бағдарланған бет, бағдарланбаған бет, т.б. болып бірнеше түрге ажыратылады. Ал дифференциалдық геометрияда, әдетте зерттелетін бет, дифференциалдық есептеу тәсілдерін пайдалануға тәуелді болады. Аналитикалық және алгебралық геометрияда бет координаттары Ф (х, y, z)=0 түріндегі теңдеуді қанағаттандыратын нүктелер жиынтығы ретінде анықталады

Бет нүктесіндегі нүктедегі жанама жазықтық.

Жанама жазықтық, S бетінің M нүктесіндегі жанама жазықтығы — М' нүктесі M нүктесіне ұмтылғанда, M нүктесінен өтетін жазықтықтан S бетінің айнымалы М' нүктесіне дейінгі қашықтығы MM' қашықтығымен салыстырғанда шексіз аз болатын жазықтық. S бетінің ерекше нүктелерінде Ж. ж-тың болмауы да мүмкін (мыс., конустық беттің төбесі арқылы өтетін жазықтық). Егер S беті =f (x, y) теңдеуімен берілсе және f (x, y) функциясының (x₀, y₀) нүктесінде толық дифференциалы бар болса ғана, онда Ж. ж-тың теңдеуі х₀, у₀, 0 нүктесінде [мұндағы 0=f (x₀, y₀)] мынадай түрде болады: Бұл жағдайда A және B (x0,y0) нүктесіндегі және дербес туындыларының мәні.