ДУ с разделяющимися переем-ми
N(x)R(y)dx+M(x)K(y)dy=0 (1) |
Это ур-ие наз. Ур-ем с разделяющимися переменными. Метод его решения: разделив (1) на произведение M(x)K(y) |
получим |
N(x)/M(x)*dx+K(y)/R(y)*dy=0 (2) |
Уравнение (2) наз. Ур-ем с разделенными переменными. Операция деления уравнения (1) на произведение М(х)R(y) |
Наз. разделением переменных. Интегрируя (2), получим общий интеграл |
∫(N(x)/M(x)*dx)+ ∫(K(y)/R(y)*dy)=0 исходного уравнения. При делении (1) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения |
М(х)R(y)=0 |
Определяя из этого уравнения решения y=ϕ(x), следует проверить, является ли оно решением уравнения (1). Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. |
Если входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым. |
Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0. |
Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим: |
(x+1)/x*dx+(y+1)/y*dy=0; |
dx+(dx/x)+dy+ (dy/y)=0 |
Интегрируя получим общий интеграл |
x+ln|x|+y+ln|y|=c; |
ln|xy|+x+y=c. |
В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y=0 |
является решениями исходного уравнения, но не входит в общий интеграл. |
Следовательно, решения x=0, y=0 является особыми. |
ДУ полных диф-лов
Рассмотрим диф. уравнение вида: (1). Если левая часть этого уравнения явл. полным дифференциалом некоторые ф-ции 2-х переменных U(x,y), т е M(x,y)dx+N(x,y)=du (2), то это уравнение называется уравнением в полных диф. Тогда ур-ние (1) принимает вид du(x,y)=0. Общим интегралом этого ур-ния будет равенство U(x,y)=C=const. Втесним условие, при кот ур-ние (1) явл. ур-нием в полных диф. Выражение для полного диф. ф-ции 2-х переменных имеем вид (3). Сравнивая (2) и (3), имеем: , . Дифференцируем первое из этих равенств по у , а второе – по х, имеем: , отсюда, предполагая непрерывность вторых произвольных, получаем (4) – условие, когда данное уравнение явл. уравнением полных диф. |
60.1.ДУ вида dy/dx=f(ax+by+c)
Имеем ф-цию z=ax+by+c.(2)Продиф-м обе части по х:dz/dx=a+b*dy/dx.Подставляем dy/dx из исх-го ур-ия (1).Имеем dz/dy=a+bf(ax+by+c) или с учетом (2) имеем dz/dx=a+bf(z).Это ур-ие явл. ур-ем с разд-ся переменными. |
dx=dz/(a+bf(z)) |
x=(∫dz//(a+bf(z)))+c-общее решение ДУ |
Уравнения Бернулли
62. Уравнение Бернулли |
Это ур-ние имеет вид: (7). Это ур-ние сводится к лин. уравнению (7а). Сделаем замену переменной: (8), . Подставляем это в (7а), получаем: - получение лин. уравнения, кот можно решать, например, методом вариации постоянной. |
61.1.ДУ вида dy/dx=f(y/x)
Такое ур-ие приводится к ур-ию с разделяющимися переменными при помощи замены |
u=y/x(1) |
y=u*x(2) |
y,=u,x+u(3) |
Подст.(3) и (2) в (1), имеем u,x+u=f(u) (4) |
du/dx*x=f(u)-u разделяем на dx получаем остаток x(f(u)-u) |
du/( f(u)-u)=dx/x |
Интегрируем обе части ∫( du/( f(u)-u))=lnIxI+c |
Линейные ДУ 1-го порядка