Дисперсия света. Фазовая и групповая скорость.

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества от длины волны

. (7.1)

где - длина волны света в вакууме. Эта зависимость объясняется электронной теорией строения вещества и определяется инертностью электронов. Согласно этой теории молекулы представляют собой упругие структуры, которые под действием внешнего электромагнитного поля начинают колебаться и при этом испускают электромагнитные волны, что , в свою очередь, возбуждает следующие молекулы, заставляя в них колебаться электроны и так далее. В связи с этим, движение света в среде как бы замедляется, что и подтверждается при анализе волнового уравнения, где скорость света меньше скорости света в вакууме . где - показатель преломления.

Для прозрачных тел, типа стекла, известна эмпирическая формула Коши

, (7.2)

где - некие коэффициенты.

Дифференцируя эту формулу по , получим , это говорит о том, что в таких материалах показатель преломления уменьшается при увеличении длины волны. Таким свойством обладают большинство материалов - это случай нормальной дисперсии. Однако встречаются ситуации, когда - это аномальная дисперсия. Согласно теории, в этом случае происходит резонансное поглощение электромагнитного поля молекулами вещества.

Явление дисперсии используется в некоторых спектральных приборах. В них

основным элементом является дисперсионная призма, принцип действия которой базируется на законе Снеллиуса: угол преломления зависит от показателя преломления. Конструкция призмы выполнена таким образом, чтобы угловая дисперсия была максимальна. Заметим, что угловая дисперсия положительна, т.е. большим длинам волн соответствует больший угол преломления , так как в силу закона Снеллиуса, а из (7.2).

Однако во многих случаях дисперсия играет отрицательную роль. Известно, что для тонкой линзы фокусное расстояние определяется выражением

, (7.3)

где - показатель преломления материала линзы, - радиусы кривизны первой и второй поверхности линзы соответственно. Так как , то и фокусное расстояние становится функцией длины волны. что приводит к нежелательному эффекту - хроматической аберрации, резко ухудшающего качество изображения. Ее устранение является одной из основных задач прикладной оптики.

Зависимость скорости распространения волны от и, следовательно, от частоты приводит к следующему. Пусть плоская волна имеет сложный состав по частотам. Тогда ее можно представить в виде ряда Фурье(7.4а), если она периодическая по или в виде интеграла Фурье (7.4б).

, (7.4а)

где ; - длина волны в вакууме; - период колебаний световой волны.

, (7.4б)

где спектральная плотность. Эти выражения в сущности выражают одно и тоже: любая волна может представлена суммой одночастотных или монохроматических волн.

Если такая волна распространяется в вреде с дисперсией , то по прохождении дистанции (для простоты рассмотрим ряд Фурье) поле волны будет

(7.5)

и у каждой составляющей будет свой набег фазы

. (7.6)

Таким образом, спектральный состав электромагнитного поля, а следовательно, и само поле изменится. Из этого возникает о нетривиальности прохождении сигнала в диспергирующих средах и появляется неоднозначность определения скорости волны.

Следует отметить, что монохроматичных (одночастотных) волн в природе не бывает. Любая, ограниченная во времени волна, уже немонохроматична, а имеет некоторый спектральный состав. Например, излучение атома длится отрезок времени , тогда его спектр, т.е. распределение амплитуд по частотам будет

, (7.7)

где , если и , если , частота излучения атома. Вычисляя интеграл и воспользовавшись формулой Эйлера, получим

. (7.8)

График этой функции, т.е. спектр, будет иметь вид, показанный на рисунке. Такая электромагнитная волна называется квазимонохроматичной, так как она помимо основной частоты , содержит и набор частот в интервале , определяемом соотношением

, (7.9)

которое получается из условия того, что является первым корнем уравнения . В соответствии с изложенным, даже такая примитивная волна деформируется, пройдя диспергирующую среду.

Любая информация, передаваемая электромагнитном полем, в простейшем случае, это какая - то засечка на волне, что приведет к усложнению спектрального состава и по прохождении среды с дисперсией, такой сигнал изменится. В общем случае определить искажение волны достаточно сложно, поэтому для этого необходимо использовать некоторые упрощенные модели. С этой целью вводятся понятия фазовой и групповой скорости.

Известно, что уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси ( с учетом времени ) имеет вид

. (7.10)

Отсюда уравнение поверхности равных фаз

. (7.11)

Скорость этой поверхности (из дифференциала (7.11) )

. (7.12)

Полученное выражение представляет собой скорость монохроматической волны или фазовая скорость.

Определим групповую скорость для простейшего случая суммы двух волн и с равной амплитудой.

, (7.13)

где

Тогда, после преобразований ( с использованием формулы Эйлера )

.(7.14)

График этого сигнала показан на рисунке. Такого рода сигналы называются биениями. Они состоят из низкочастотной составляющей, в которой заключена полезная информация и высокочастотным заполнением. Перемещение информации характеризуется условием откуда скорость огибающей или скорость группы или в пределе

. (7.15)

Можно найти связь между фазовой и групповой скоростью. Так как , то

, но и , то окончательно

. (7.16)

Это формула Релея, которая связывает групповую и фазовую скорости через дисперсию среды. Из нее следует, что если дисперсия среды отсутствует, то скорость огибающей (информации) совпадает со скоростью распространения монохроматической волны, в противном случае они различны.