Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Существуют стандартные математические модели для ряда характерных физических процессов, которые сводятся к различным краевым задачам для линейных дифференциальных урав­нений второго порядка.

1. Классификация краевых задач.Как было показано в § 1.2, линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.89)

описывает процессы колебаний, уравнение

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.90)

описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.91)

описывает соответствующие стационарные процессы.

Пусть G Ì Rn область, где происходит процесс, и S - ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, G есть область изменения аргументов x в уравнении (1.91) – область задания уравнения(1.91). Областью задания уравнений (1.89) и (1.90) будем считать цилиндр ЦT =G ´ (0,T) высоты T с основанием G. Его граница состоит из боковой поверхности S ´[О,T] и двух основании: нижнего Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru и верхнего Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (рис. 1.3).

Будем предполагать, что коэффициенты r, p, q уравнений (1.89) - (1.91) не зависят от времени t; далее в соответствии с их физическим смыслом будем считать, что

r(x) > 0, p(x) > 0, q(x)³ 0 при Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

Наконец, в соответствии с математическим смыслом уравнений (1.89)-(1.91) необходимо считать, что Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

Рис. 1.3
При этих предположениях согласно классификации §1.3 урав­нение колебаний (1.89) - уравнение гиперболического типа, уравне­ние диффузии (1.90) - параболического типа и стационарное уравнение (1.91) - эллиптического типа. Таким образом, различие в типах рассматриваемых урав­нений тесно связано с различием физи­ческих процессов, описываемых этими уравнениями.

Как отмечалось в §1.2, чтобы пол­ностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого урав­нения, описывающего этот процесс, за­дать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связанно с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка общее решение зависит от n произволь­ных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru в классе функций, зависящих от двух переменных x, y имеет вид u(x,y)=f(y), где f - произвольная функция класса С2. Поэтому чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия: начальные и граничные условия. Соответствующая задача называется краевой задачей. Различают, таким образом, следующие три основных тина краевых задач для дифференциальных уравнений.

а) Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область G совпадает со всем пространством Rn, граничные условия отсутствуют.

б) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S, начальные условия, естественно, отсутствуют.

в) Смешанная задача для уравнений гиперболического и па­раболического типов: задаются и начальные, и граничные условия,

G¹Rn

Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для рассматриваемых уравнений (1.89) – (1.91).

2. Задача Коши.Для уравнения колебаний (1.89) (гиперболи­ческий тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функ­цию u(x,t) класса C2(t > 0) Ç Cl(t ³0), удовлетворяющую уравне­нию (1.89) в полупространстве t > 0 и начальным условиям при

t = +0

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.92)

При этом необходимо, чтобы FÎC(t > 0), u0ÎС1(Rn), u1ÎС(Rn).

Для уравнения диффузии (1.90) (параболический тип) задача Коши ставится так: найти функцию u(x,t) класса С2(t > 0)ÇC(t ³ 0), удов­летворяющую уравнению (1.90) в полупространстве t > 0 и начальному условию при t = +0

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.93)

При этом необходимо, чтобы FÎC(t > 0), u0ÎС(Rn),

Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Даны квазилинейное дифференциальное уравнение вто­рого порядка гиперболического типа:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.94)

кусочно-гладкая поверхность S= {t= s(x)} и функции u0 и u1 на S (данные Коши). Задача Коши для уравнения (1.94) состоит в нахожде­нии решения u(x,t), определенного в некоторой части области t>s(x), примыкающей к поверхности S, и удовлетворяющего на S краевым условиям:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.95)

где n — нормаль к S, направленная в сторону возрастающих t (рис.9).

В задаче Коши (1.94), (1.95)важно, что поверхность S ни в одной точке не касается характеристической поверхности (см. §1.3, п. 3) уравнения (1.94). В противном случае задача Коши может или вовсе не иметь решения, или иметь неединственное решение.

Замечание. Решения поставленных краевых задач с гладкостью С1 вплоть до границы области задания уравнения существуют не всегда. Поэтому иногда приходится отказываться от требования такой гладкости и требовать, например, чтобы решение было только непрерывным вплоть до границы области. Эта постановка является естественной в задачах, не содержащих первых производных в крае­вых условиях, например, для уравнений (1.90) и (1.91) с граничным услови­ем I рода. Если же в краевые условия входят первые производные, то в каждом конкретном случае необходимо указывать, в каком смысле должны быть выполнены эти краевые условия. Например, для сме­шанной задачи для уравнения (1.89) выполнения второго из начальных условий (1.92) можно требовать в смысле Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru :

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.96)

Для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения граничного условия (16) можно требовать в следующем смысле:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.97)

5. Другие краевые задачи.Сформулируем еще две краевые задачи, часто встречающиеся в математической физике.

а) Задача Гурса. Пусть дано линейное дифференциальное урав­нение гиперболического типа с двумя независимыми переменными в каноническом виде (см. § 1.3, п. 4):

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.98)

с непрерывными коэффициентами a, b и с в замкнутом прямоугольнике:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

Требуется найти функцию и(х,у) класса Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru удовлетворяющую уравнению (1.98) в прямоугольнике П и принимающую на его сторонах Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (рис. 1.4) заданные значения:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.99)

Рис. 1.4
Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

При этом должны быть выполнены условия гладкости:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

и условие согласованности Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

Отметим, что в задаче Гурса задается однокраевое условие ив двух пересекающихся характеристикахуравнения (1.98).

б) Задача Трикоми для уравнения Чаплыгина.

Уравнение Чап­лыгина имеет вид:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.100)

где

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

При Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru уравнение (1.100) превращается в уравнение Трикоми (см. § 1.3, п. 5),

Рис. 1.5
Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

Пусть односвязная область G в плоскости (x, у) разделена параболической линией у = 0 уравнениями Трикоми на две части: эллиптическую G1(y > 0) и гиперболическую G2(y < 0). Предположим, что область g1 в у > 0 ограничена кусочно-гладкой кривой So, которая оканчивается в точ­ках x1 и х2, х1 < х2, на оси x, a область G2 в у < 0 ограничена двумя пересекающимися характеристиками S1 и S2 уравнения (1.100) (ср. §1.3, п. 5), проходящими соответственно через точки х1 и x2 на оси х (рис. 1.5).

Требуется найти функцию и(х,у) класса Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru удовлетворяющую уравнению (1.100) в областях g1 и G2 и принимающую на дуге So и на одной из характеристик, например, на S1, заданные значения:

Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru (1.101)

При этом необходимо, чтобы Постановка краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка - student2.ru

6. Корректность постановок задач математической физики.Так как задачи математической физики представляют собой математические модели реальных физических процессов, то их постановки должны удовлетворять следующим естественным требованиям.

а) Решение должно существоватьв каком-либо классе функций M1.

б) Решение должно быть единственнымв каком-либо классе функций М2.

в) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи(на­чальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т. д.).

Непрерывная зависимость решения и от данных задачи D означает следующее: пусть последовательность данных Dk, k = 1,2,..., в каком-то смысле стремится к D, k → ∞, и иk, k= 1,2,..., — соответствующие решения задачи; тогда должно быть uk → u, k → ∞ в смысле надлежащим образом выбранной сходимости. Например, пусть задача приводится к уравнению Lu = F, где L — линейный оператор, переводящий М в N, где М и N — линейные нормированные пространства. В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена F будет обеспечена, если оператор L-l существует и ограничен из N в М (см. §1.1, пп.8,9). Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближению, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректно поставленной(по Адамару), а множество функций M1∩M2 называется классом корректности. Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий а) - в), называется некорректно поставленной.

К некорректно поставленным задачам часто приводят обратные задачи математической физики: по некоторой информации о решение прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физические величины, определяющие эту задачу (источники, краевые условия, коэффициенты уравнения и т.д.).

Примеры краевых задач

Наши рекомендации