Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Дан куб . Найти угол между ребром АВ и диагональю одной из граней

2. Через стороны АВ и ВС квадрата АВСD проведены плоскости р и q, которые пересекаются по прямой l . Докажите, что если l ^ AB , то AB ^ q.

Тема: Теорема о трёх перпендикулярах

1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС катеты равны а см. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр СD, причем СD=2а см. Найти расстояние от точки D до гипотенузы AB.

2. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая BM, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если AB =25см, угол = 60° и BM =12,5 см.

3. Стороны треугольника равны 51 см, 30 см и 27 см. Из вершины меньшего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр длиной 10 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до противолежащей стороны треугольника.

4. Диагонали ромба равны 60 см и 80 см. В точке пересечения диагоналей к плоскости ромба проведен перпендикуляр длиной 45 см. Найти расстояние от этой точки до стороны ромба.

5. Под каким углом к плоскости надо провести наклонную, чтобы ее проекция была вдвое меньше самой наклонной.

6. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные под углом 45° к плоскости, а их проекции составляют между собой угол 120°. Вычислить расстояние между концами наклонных.

7. Доказать, что противолежащие ребра в правильном тетраэдре перпендикулярны.

8. Наклонная АВ образует с плоскостью a угол 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости a, составляет угол 45° с проекцией наклонной АВ. Докажите, что угол ВАС=60°.

9. В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов образует с плоскостью, в которой лежит другой катет, угол в 45°. Докажите, что гипотенуза образует с этой плоскостью угол в 30°.

Тема: Двугранный угол.

1. Расстояние от точки А до граней двугранного угла равно d. Найти расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если его величина равна 60°.

2. Плоскости a и b параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости a . Докажите, что любая плоскость проходящая через прямую а, перпендикулярна к плоскости b .

3. Два прямоугольных равнобедренных треугольника имеют общую гипотенузу АВ, равную 10 см. Плоскости треугольников перпендикулярны. Найти расстояние между вершинами прямых углов.

Тема: Подготовка к зачету

1. Из точки К, удаленной от плоскости a на 9 см, проведены к плоскости a наклонные KL и KM , образующие между собой прямой угол, а с плоскостью a углы в 45° и 30° соответственно. Найти отрезок LM.

2. В треугольнике, стороны которого равны 10 см, 17 см, 21 см, из вершины большего угла проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Вычислить расстояние от конца этого перпендикуляра до большей стороны треугольника.

3. Основание равнобедренного треугольника, равное 18 см, лежит в плоскости a , боковая сторона равна 15 см, а вершина, лежащая против основания, удалена от плоскости a на расстояние 6 см. Найти угол между плоскостью a и плоскостью треугольника.

4. Прямая а параллельна плоскости a . Докажите, что если плоскость b пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость a.

5. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая BF, перпендикулярная его плоскости. Определить расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF=8 дм, АВ=4 дм.

Тема: Многогранники.

1. Дан параллелепипед Докажите, что диагонали оснований попарно параллельны, т.е. АС // и ВD //

2. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в . Найти боковое ребро параллелепипеда.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро – 6 см. Найти площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

4. Диагональ основания правильной 4-ной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани 7 см. Найти диагональ призмы.

5. Ребро куба равно а. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы ребер, выходящих из одной вершины.

6. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 9 см, стороны основания равны 7 см и 11 см, и одна из диагоналей основания равна 14 см. Определить диагонали параллелепипеда.

7. В прямом параллелепипеде ребра, выходящие из одной вершины, равны 1 м, 2 м и 3 м, причем два меньших образуют угол в 60. Определить диагонали этого параллелепипеда.

8. Дана пирамида, высота которой равна 16 м, площадь основания – 512 . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной параллельно основанию на расстоянии 5 м от вершины.

9. В основании пирамиды параллелограмм, стороны которого 3 см и 7 см, а диагональ – 6 см. Высота пирамиды, проходящая через точку пересечения диагоналей основания, равна 4 см. Определить боковые ребра пирамиды.

10. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 см и высота 9 см; боковые ребра равны между собой и равны 13 см. Определить высоту пирамиды.

11. Найти диагонали прямоугольного параллелепипеда, если известны его измерения 5 см, 6 см, 7 см.

12. Стороны основания прямого параллелепипеда равны и 24 см, угол между ними , боковое ребро 12 см. Найти диагонали параллелепипеда.

13. Стороны оснований правильной 3-ной усеченной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол в . Найти высоту.

14. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 20 см и 21 см. Боковые ребра пирамиды равны см. Найти высоту пирамиды.

15. Найти высоту правильной 4-ной пирамиды, если ее боковое ребро равно b, а плоский угол при вершине равен a.

16. В правильной 3-ной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен j . Найти высоту пирамиды.

17. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислить высоту пирамиды.

Тема: Цилиндр и конус.

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого S. Найти площадь основания цилиндра.

2. Высота конуса 4 см, диаметр основания 6 см. Найти образующую конуса.

3. Диаметры оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 4 см. Найти образующую конуса.

4. Высота цилиндра равна 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получится квадрат. Найти расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

5. Дан конус, высота которого 10 см, площадь основания 25 . Определить площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от основания на 3 см.

6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 10 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти высоту конуса.

Тема: Сфера и шар

1. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 см.

2. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найти расстояние от его центра до плоскости ромба.

3. Радиусы шаров 29 дм и 25 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найти длину окружности, по которой пересекаются их поверхности.